Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，函數(shù)f（x）=

2x-1

x+1

，a_n=log₂

f(n+1)

f(n)

，則S₂₀₁₃=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：利用遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n=log₂

f(n+1)

f(n)

=log₂f（n+1）-log₂f（n），累加求和．逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求得答案．

解答： 解：∵n≥1，n∈N，∴f（n）=

2n-1

n+1

=2-

3

n+1

≥

1

2

＞0，
∴a_n=log₂

f(n+1)

f(n)

=log₂f（n+1）-log₂f（n），
∴S₂₀₁₃=a₁+a₂+…+a₂₀₁₃
=[log₂f（2）-log₂f（1）]+[log₂f（3）-log₂f（2）]+…+[log₂f（2014）-log₂f（2013）]
=[log₂f（2014）-log₂f（1）]
=log2(

2×2014-1

2014+1

)-log2(

2×1-1

1+1

)
=log2(

4027

2015

)+1．
故答案為：log2(

4027

2015

)+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查遞推關(guān)系的應(yīng)用，求得a_n=log₂

f(n+1)

f(n)

=log₂f（n+1）-log₂f（n）是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．