Question

6．在正三棱錐S-ABC中，M是SC的中點，且AM⊥SB，底面邊長AB=2$\sqrt{2}$，則正三棱錐S-ABC外接球表面積為（　�。�

• A． 6π
• B． 12π
• C． 32π
• D． 36π

Answer 1

分析 根據(jù)三棱錐為正三棱錐，可證明出AC⊥SB，結合SB⊥AM，得到SB⊥平面SAC，因此可得SA、SB、SC三條側棱兩兩互相垂直．最后利用公式求出外接圓的直徑，結合球的表面積公式，可得正三棱錐S-ABC的外接球的表面積．

解答 解：取AC中點，連接BN、SN
∵N為AC中點，SA=SC
∴AC⊥SN，同理AC⊥BN，
∵SN∩BN=N
∴AC⊥平面SBN
∵SB?平面SBN
∴AC⊥SB
∵SB⊥AM且AC∩AM=A
∴SB⊥平面SAC⇒SB⊥SA且SB⊥AC
∵三棱錐S-ABC是正三棱錐
∴SA、SB、SC三條側棱兩兩互相垂直．
∵底面邊長AB=2$\sqrt{2}$，
∴側棱SA=2，
∴正三棱錐S-ABC的外接球的直徑為：2R=$2\sqrt{3}$
外接球的半徑為R=$\sqrt{3}$
∴正三棱錐S-ABC的外接球的表面積是S=4πR²=12π
故選：B．

點評 本題以正三棱錐中的垂直關系為例，考查了空間線面垂直的判定與性質(zhì)，以及球內(nèi)接多面體等知識點，屬于中檔題．