Question

1．已知向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是兩個(gè)共線向量，若$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，求證：$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量共線的等價(jià)條件進(jìn)行證明即可．

解答 證明：∵向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是兩個(gè)共線向量，
∴設(shè)$\overrightarrow{{e}_{1}}$=m$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
則$\overrightarrow{a}$=m$\overrightarrow{{e}_{2}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（m-1）$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=2m$\overrightarrow{{e}_{2}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（2m+2）$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
若$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\overrightarrow{0}$，則$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$，則$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，
若$\overrightarrow{{e}_{2}}$≠$\overrightarrow{0}$，
若m=1，則$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{0}$，則$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，
若m=-1，則$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$，則$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，
若m≠1且m≠-1，則$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\frac{1}{m-1}$$\overrightarrow{a}$，
即$\overrightarrow$=（2m+2）$\overrightarrow{{e}_{2}}$=$\frac{2m+2}{m-1}$$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$共線．
綜上恒有$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量共線的證明，比較基礎(chǔ)．