Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=-f（x+2），且當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f(x)=(

1

2

)x-1，若在x∈[-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（　　）

• A、（1，2）
• B、（2，+∞）
• C、(

  3	4

  ，2)
• D、(1，

  3	4

  )

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x）=-f（x+2），推出函數(shù)的周期是4，根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，得到函數(shù)f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合確定滿足的條件即可得到結(jié)論．

解答： 解：由f（x）=-f（x+2），得f（x+2）=-f（x），即f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函數(shù)f（x）的周期為4，
∵當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f(x)=(

1

2

)x-1，
∴若x∈[0，2]，則-x∈[-2，0]，
則f（-x）=(

1

2

)-x-1=2x-1，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=(

1

2

)-x-1=2x-1=f（x），
即f（x）=2^x-1，x∈[0，2]，
由f（x）-log_a（x+2）=0得f（x）=log_a（x+2），
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：如0＜a＜1，函數(shù)g（x）=log_a（x+2）單調(diào)遞減，此時(shí)只有1個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件，（虛線圖象）．
當(dāng)a＞1時(shí)，要使方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
則等價(jià)為函數(shù)f（x）與g（x）=log_a（x+2）有3個(gè)不同的交點(diǎn)，
則滿足

g(2)＜f(2) g(6)＞f(6)

，即

loga4＜3 loga8＞3

，
解得

3	4

＜a＜2，
故a的取值范圍是(

3	4

，2)，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，利用函數(shù)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用分段函數(shù)的表達(dá)式，作出函數(shù)f（x）的圖象是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．