【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,面PAD⊥底面ABCD,且△PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,PC= ,M在PC上,且PA∥面BDM.
(1)求直線PC與平面BDM所成角的正弦值;
(2)求平面BDM與平面PAD所成銳二面角的大。

【答案】
(1)解:∵面PAD⊥面ABCD,△PAD為正三角形,作AD邊上的高PO,

∵面PAD∩面ABCD=AD,由面面垂直的性質(zhì)定理,得PO⊥面ABCD,

又ABCD是矩形,同理可得CD⊥面PAD,知CD⊥PD,

∵PC= ,PD=2,∴CD=3.

以AD中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA所在直線為x軸,OP所在直線為z軸,AD的垂直平分線為y軸,建立如圖所示的坐標(biāo)系,

則P(0,0, ),A(1,0,0),B(1,3,0),C(﹣1,3,0),D(﹣1,0,0),

連結(jié)AC交BD于點(diǎn)N,由PA∥面MBD,面APC∩面MBD=MN,

∴MN∥PA,又N是AC的中點(diǎn),

∴M是PC的中點(diǎn),則M( , ),

設(shè)面BDM的法向量為 ,

,

,令x=1,解得y=﹣ ,z= ,得

設(shè)PC與面BDM所成的角為θ,則 ,

∴直線PC與平面BDM所成角的正弦值為


(2)面PAD的法向量為向量 ,設(shè)面BDM與面PAD所成的銳二面角為φ,

則cosφ= ,

故平面BDM與平面PAD所成銳二面角的大小為


【解析】作AD邊上的高PO,由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得PO⊥面ABCD,再由ABCD是矩形,得到CD⊥PD,求解直角三角形可得CD.以AD中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA所在直線為x軸,OP所在直線為z軸,AD的垂直平分線為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出所用點(diǎn)的坐標(biāo),得到平面BDM的法向量 .(1)設(shè)PC與面BDM所成的角為θ,由sinθ=| 求得直線PC與平面BDM所成角的正弦值.(2)求出平面PAD的法向量 ,由兩平面法向量所成角的余弦值求得平面BDM與平面PAD所成銳二面角的大。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的空間角的異面直線所成的角,需要了解已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】2018年2月25日第23屆冬季奧動(dòng)會(huì)在韓國(guó)平昌閉幕,中國(guó)以銅的成績(jī)結(jié)束本次冬奧會(huì)的征程,某校體育愛(ài)好者協(xié)會(huì)對(duì)某班進(jìn)行了“本屆冬奧會(huì)中國(guó)隊(duì)表現(xiàn)”的滿意度調(diào)查(結(jié)果只有“滿意”和“不滿意”兩種),按分層抽樣從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取了人,具體的調(diào)查結(jié)果如下表:

某班

滿意

不滿意

男生

女生

(1)若該班女生人數(shù)比男生人數(shù)多人,求該班男生人數(shù)和女生人數(shù);

(2)若從該班調(diào)查對(duì)象的女生中隨機(jī)選取人進(jìn)行追蹤調(diào)查,記選中的人中“滿意”的人數(shù)為,求時(shí)對(duì)應(yīng)事件的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】將函數(shù)y=sin(2x+ )的圖象向左平移φ(φ>0)個(gè)單位后,恰好得到函數(shù)的y=sin2x的圖象,則φ的最小值為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某市組織了一次高二調(diào)研考試,考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布,其密度函數(shù), x(-∞,+∞),則下列命題不正確的是( )

A. 該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?/span>80

B. 分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同

C. 分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同

D. 該市這次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差為10

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=xex﹣ax2(a∈R).
(1)若函數(shù)g(x)= 是奇函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,函數(shù)h(x)=kx+b(k,b為實(shí)常數(shù))的圖象與函數(shù)f(x)的圖象總相切于一個(gè)定點(diǎn). ①求k與b的值;
②對(duì)(0,+∞)上的任意實(shí)數(shù)x1 , x2 , 都有[f(x1)﹣h(x1)][f(x2)﹣h(x2)]>0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知一元二次函數(shù)

1)寫(xiě)出該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo);

2)如果該函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,求實(shí)數(shù)的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ex(x3﹣3x+3)﹣aex﹣x(x≥﹣2),若不等式f(x)≤0有解,則實(shí)數(shù)α的最小值為(
A.
B.2﹣
C.1﹣
D.1+2e2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處,極軸與x軸非負(fù)半軸重合,直線的極坐標(biāo)方程為,圓C的參數(shù)方程為,

(1)求直線被圓C所截得的弦長(zhǎng);

(2)已知點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線與圓所相交于不同的兩點(diǎn),求

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某學(xué)校為調(diào)查該校學(xué)生每周使用手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)間,隨機(jī)收集了若干位學(xué)生每周使用手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時(shí)),將樣本數(shù)據(jù)分組為,繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖,已知內(nèi)的學(xué)生有5人.

(1)求樣本容量,并估計(jì)該校學(xué)生每周平均使用手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)間;

(2)將使用手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)間在內(nèi)定義為“長(zhǎng)時(shí)間看手機(jī)”;使用手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)間在內(nèi)定義為“不長(zhǎng)時(shí)間看手機(jī)”.已知在樣本中有位學(xué)生不近視,其中“不長(zhǎng)時(shí)間看手機(jī)”的有位學(xué)生.請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為該校學(xué)生長(zhǎng)時(shí)間看手機(jī)與近視有關(guān).

近視

不近視

合計(jì)

長(zhǎng)時(shí)間看手機(jī)

不長(zhǎng)時(shí)間看手機(jī)

15

合計(jì)

25

參考公式和數(shù)據(jù):

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案