Question

設函數(shù)f（x）=

1

3

x3+

1-a

2

x2-ax-a（a＞0）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；
（2）當a=1時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）利用導數(shù)求出函數(shù)的取值情況，即可求出m的取值范圍，
（2）需要分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性，對區(qū)間情況分類討論，可求得f（x）在[t，t+3]上最大值．

解答： 解：（1）∵f(x)=

1

3

x3+

1-a

2

x2-ax-a(a＞0)
∴f'（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a），
令f'（x）=0，解得x₁=-1，x₂=a＞0，
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

2a-1≤2	（-∞，-1）	-1	（-1，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	1 4 a-a+1=0	0	-	0	a= 4 3
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（a，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，a）；因此f（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個零點，當且僅當

f(-2)＜0 f(-1)＞0 f(0)＜0

，
解得0＜a＜

1

3

，所以a的取值范圍是（0，

1

3

）．
（2）當a=1時，f(x)=

1

3

x3-x-1，
由（1）可知，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）；f(x)極大值=f(-1)=-

1

3

．
①當t+3＜-1，即t＜-4時，
∵f（x）在區(qū)間[t，t+3]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為f(x)max=f(t+3)=

1

3

(t+3)3-(t+3)-1=

1

3

t3+3t2+8t+5；       
②當-1≤t+3≤2，即-4≤t≤-1時，
∵f（x）在區(qū)間（-∞，-1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，且f(2)=f(-1)=-

1

3

，
∴f（x）在區(qū)間（-∞，2]上的最大值為f(2)=f(-1)=-

1

3

，
由-1≤t+3≤2，即-4≤t≤-1時，有[t，t+3]?（-∞，2]，-1∈[t，t+3]，
∴f（x）在[t，t+3]上的最大值為f(x)max=f(-1)=-

1

3

；                            
③當t+3＞2，即t＞-1時，
由②得f（x）在區(qū)間（-∞，2]上的最大值為f(2)=f(-1)=-

1

3

，
∵f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（t+3）＞f（2），
∴f（x）在[t，t+3]上的最大值為f(x)max=f(t+3)=

1

3

t3+3t2+8t+5，
綜上所述，當a=1時，f（x）在[t，t+3]上的最大值f(x)max=

1 3 t3+3t2+8t+5(t＜-4或t＞-1) - 1 3 (-4≤t≤-1)

．

點評：本題考查了應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點以及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，同時考查分析問題、解決問題的能力以及分類討論的數(shù)學思想．