已知正實(shí)數(shù)a、b、c滿足a2+4b2+c2=3.
(Ⅰ)求a+2b+c的最大值;
(Ⅱ)若不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
考點(diǎn):絕對(duì)值不等式的解法
專題:不等式的解法及應(yīng)用
分析:(I)由條件利用柯西不等式得:(a2+4b2+c2)(1+1+1)≥(a+2b+c)2,即9≥(a+2b+c)2.再根據(jù)a、b、c為正實(shí)數(shù),求得a+2b+c的最大值.
(Ⅱ)由題意可得|x-5|-|x-1|≥(a+2b+c)max=3,可得 
x<1
(5-x)-(1-x) ≥3
①;或
1≤x<5
(5-x)-(x-1)≥3
②;或
x≥5
(x-5)-(x-1)≥3
③.分別求得①、②、③的解集,再取并集,即得所求.
解答: 解:(I)∵a2+4b2+c2=3,由柯西不等式得:(a2+4b2+c2)(1+1+1)≥(a+2b+c)2,
故有 9≥(a+2b+c)2
再根據(jù)a、b、c為正實(shí)數(shù),∴a+2b+c≤3,即a+2b+c的最大值為3.
(Ⅱ)∵a、b、c為正實(shí)數(shù),不等式|x-5|-|x-1|≥a+2b+c恒成立,
∴|x-5|-|x-1|≥(a+2b+c)max=3,
x<1
(5-x)-(1-x) ≥3
①;或
1≤x<5
(5-x)-(x-1)≥3
②;或
x≥5
(x-5)-(x-1)≥3
③.
解①求得x<1,解②求得1≤x≤
3
2
,解③求得 x∈∅,
綜上可得,實(shí)數(shù)x的取值范圍為(-∞,
3
2
].
點(diǎn)評(píng):本題主要考查分式不等式的解法,函數(shù)的恒成立問題,體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

2014年中國(guó)男子籃球職業(yè)聯(lián)賽將由廣東隊(duì)和新疆隊(duì)爭(zhēng)奪參加決賽的一個(gè)名額,比賽采用5場(chǎng)3勝制,根據(jù)以往戰(zhàn)績(jī)統(tǒng)計(jì),每場(chǎng)比賽廣東隊(duì)獲勝的概率為
2
3
,新疆隊(duì)獲勝的概率為
1
3

(Ⅰ)求廣東隊(duì)在0:1落后的情況下,最后獲勝的概率(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).
(Ⅱ)前3場(chǎng)比賽,每場(chǎng)比賽主辦方將有30萬元的收益,以后的每場(chǎng)比賽將比前一場(chǎng)多收益10萬元,求本次比賽主辦方收益的數(shù)學(xué)期望(結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(2alnx)+2ax-x2.       
(1)試確定函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性;
(2)設(shè)a>0,若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)上有唯一零點(diǎn),試求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=6cos2
ωx
2
+
3
sinωx-3(ω>2)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示,A為圖象的最高點(diǎn),B、C為圖象與x軸的交點(diǎn),且ABC為正三角形.
(1)求ω的值;
(2)求函數(shù)f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某單位從一所學(xué)校招收某類特殊人才.對(duì)20位已經(jīng)選拔入圍的學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力和邏輯思維能力的測(cè)試,其測(cè)試結(jié)果如下表:
邏輯思維能力

運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力
一般 良好 優(yōu)秀
一般 2 2 1
良好 4 b 1
優(yōu)秀 1 3 a
例如,表中運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力良好且邏輯思維能力一般的學(xué)生有4人.由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,只知道從這20位參加測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位,抽到運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為
3
10

(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)從參加測(cè)試的20位學(xué)生中任意抽取2位,設(shè)運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望Eξ.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1•an+an+1-an=0
(Ⅰ)證明:數(shù)列{
1
an
}為等差數(shù)列,并求an
(Ⅱ)設(shè)bn=an•an+2,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn
(Ⅲ)求證:
1
3
Sn
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在四棱錐P-ABCD中,ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N、E分別是AB、PC、CD的中點(diǎn).
(1)求證:平面MNE∥平面PAD;
(2)求證:MN∥平面PAD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)直線l的參數(shù)方程為
x=5+
3
2
t
y=
1
2
t
(t為參數(shù)).
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的普通方程;
(2)設(shè)曲線C與直線l相交于P,Q兩點(diǎn),以PQ為一條邊作曲線C的內(nèi)接矩形,求該矩形的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

等比數(shù)列{an}中,a1=1,a4=8,則a7=
 

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同步練習(xí)冊(cè)答案