Question

已知函數(shù)f（x）=（2alnx）+2ax-x²．       
（1）試確定函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）設(shè)a＞0，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)，試求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）x=x₁為極大值，因?yàn)橹挥幸粋�(gè)零點(diǎn)，所以f（x₁）=0，再確定g（x）=2lnx+x-1是單調(diào)增的，所以至多只有一個(gè)零點(diǎn)，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）f'（x）=

2

x

（x²-ax-a）
由f'（x）=0，得x²-ax-a=0，
所以△=a²+4a=a（a+4）
討論a：
當(dāng)-4≤a≤0時(shí)，△≤0，此時(shí)f'（x）≤0，因此函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)減；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在x＞0只有一個(gè)極值點(diǎn)x₁=

a+ △

2

；
當(dāng)x＞x₁時(shí)，f（x）單調(diào)減；當(dāng)0＜x＜x₁時(shí)，f（x）單調(diào)增．
a＜-4時(shí)，f（x）在x＞0無極值點(diǎn)，x＞0時(shí)，f（x）單調(diào)減．
（2）由上，x=x₁為極大值，因?yàn)橹挥幸粋�(gè)零點(diǎn)，所以f（x₁）=0
而x₁滿足x₁²=ax₁+af（x₁）=2alnx₁+2ax₁-ax₁-a=a（2lnx₁+x₁-1）=0得2lnx₁+x₁-1=0
因?yàn)間（x）=2lnx+x-1是單調(diào)增的，所以至多只有一個(gè)零點(diǎn)，
而g（1）=0，所以有x₁=1代入x₁²-ax₁-a=0，得1-a-a=0，得a=

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．