Question

已知直二面角α-l-β，點A∈α，B∈β，A、B到棱l的距離相等，直線AB與平面β所成的角為30°，則AB與棱l所成的角的余弦是（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  2

  2

• C、

  1

  2

• D、

  2

  4

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間角

分析：作AC⊥l，交l于點C，作BD⊥l，交l于點D，取BD中點E，取AC中點G，于C∩中點F，則∠EFG是AB與棱l所成的角（或補(bǔ)角），由此能求出AB與棱l所成的角的余弦．

解答： 解：如圖，∵直二面角α-l-β，點A∈α，B∈β，
A、B到棱l的距離相等，
直線AB與平面β所成的角為30°，
作AC⊥l，交l于點C，作BD⊥l，交l于點D，
取BD中點E，取AC中點G，于C∩中點F，
則FG

∥

.

1

2

AB，EF

∥

.

1

2

CD，AC=BD，AC⊥平面β，
BD⊥平面α，∠ABC=30°，
∴∠EFG是AB與棱l所成的角（或補(bǔ)角），
設(shè)AC=BD=1，則BC=AD=

3

，AB=2，CD=

2

，
∴EF=

2

2

，F(xiàn)G=1，GE=

2+ 1 4 + 1 4

=

10

2

，
∴cos∠EFG=

1 2 +1- 5 2

2× 2 2 ×1

=-

2

2

，
∴AB與棱l所成的角的余弦是

2

2

．
故選：B．

點評：本題考查直線與平面所成角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．