Question

在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，錯(cuò)誤的是（　　）

• A、直線A₁B和直線AC所成角的大小為60°
• B、直線AC∥平面DA₁C₁
• C、二面角B-AB₁-C的大小是arctan

  2

• D、直線A₁B₁到平面ABC₁D₁的距離為a

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)空間角和距離的定義，結(jié)合線面角和二面角的定義分別進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論．

解答： 解：A．連結(jié)BA₁，BC₁，A₁C₁，則AC∥A₁C₁，
則直線A₁B和直線A₁C₁所成角即為直線A₁B和直線AC所成角，
在正方體中，△BA₁C₁是正三角形，則直線A₁B和直線AC所成角的大小為60°，故A正確．
B．∵AC∥A₁C₁，A₁C₁，?平面DA₁C₁，∴直線AC∥平面DA₁C₁，故B正確．
C．連結(jié)AB₁，交BA₁，于E，則∠BEC是二面角B-AB₁-C的平面角，
則tan∠BEC=

BC

BE

=

a

2 a 2

=

2

，故C正確．
D．∵A₁B₁∥ABC₁D₁，
∴A₁到平面ABC₁D₁的距離就是直線A₁B₁到平面ABC₁D₁的距離，
取AD₁的中點(diǎn)F，則A₁F=

2

2

a，
故D錯(cuò)誤．
故選：D

點(diǎn)評：本題主要考查空間直線位置關(guān)系的判斷依據(jù)空間角的求解，考查學(xué)生的推理能力．