Question

已知離心率分別為e₁、e₂的橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩個公共頂點為A、B，若P、Q分別為雙曲線C₂和橢圓C₁上不同于A、B的動點，且滿足

AP

+

BP

=λ（

AQ

+

BQ

）（λ∈R，|λ|＞1）．如果直線AP、BP、AQ、BQ的斜率依次記為k₁、k₂、k₃、k₄．
（1）求證：e₁²+e₂²=2；
（2）求證：k₁+k₂+k₃+k₄=0；
（3）設F₁、F₂分別為橢圓C₁和雙曲線C₂的右焦點，若PF₂∥QF₁，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得e1=

c

a

=

a2-b2

a

，e2=

c′

a

=

a2+b2

a

，由此能證明e12+e22=2．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），x12-a2=

a2

b2

y12，k1+k2=

y1

x1+a

+

y1

x1-a

=

2b2

a2

×

x1

y1

，k3+k4=

y2

x2+a

+

y2

x2-a

=-

2b2

a2

×

x2

y2

，由此能證明k₁+k₂+k₃+k₄=0．
（3）由①得(k1+k2)2=

4b4

a4

×

a4

b4

=4，由（2）得k₃+k₄=-（k₁+k₂），(k3+k4)2=4，k₁k₂=

b2

a2

，k3k4=

y2

x2+a

×

y2

x1-a

=-

b2

a2

，由此能求出k12+k22+k32+k42的值．

解答： （1）證明：∵離心率分別為e₁、e₂的橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∴由已知得e1=

c

a

=

a2-b2

a

，e2=

c′

a

=

a2+b2

a

，
∴e12+e22=

a2-b2

a2

+

a2+b2

a2

=2．
（2）證明：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵

x12

a2

-

y12

b2

=1，∴x12-a2=

a2

b2

y12，
k1+k2=

y1

x1+a

+

y1

x1-a

=

2x1y1

x12-a2

=

2b2

a2

×

x1

y1

，①
∵

x22

a2

+

y22

b2

=1，∴x22-a2=-

a2

b2

y22，
∴k3+k4=

y2

x2+a

+

y2

x2-a

=

2x2y2

x22-a2

=-

2b2

a2

×

x2

y2

，②
∵

OP

=λ

OQ

，∴O、P、Q三點共線，
∴

x1

y1

=

x2

y2

，
∴由①②得k₁+k₂+k₃+k₄=0，
（3）解：

x12

a2

+

y12

b2

=λ2與

x12

a2

-

y12

b2

=1聯(lián)立，
得x12=

λ2+1

2

a2，y12=

λ2-1

2

b2，
∵PF₂∥QF₁，λ＞1，∴|OF₂|=λ|OF₁|，
∴λ2=

a2+b2

a2-b2

，∴

x12

y12

=

(λ2+1)a2

(λ2-1)b2

=

a4

b4

，
由①得(k1+k2)2=

4b4

a4

×

a4

b4

=4，
由（2）得k₃+k₄=-（k₁+k₂），∴(k3+k4)2=4，
又∵k₁k₂=

y1

x1+a

×

y1

x1-a

=

y12

x12-a2

=

b2

a2

，
k3k4=

y2

x2+a

×

y2

x1-a

=

y22

x22-a2

=-

b2

a2

，
∴k12+k22+k32+k42
=（k₁+k₂）²+(k3+k4)2-2(k1k2+k3k4)=4+4-0=8．

點評：本題考查e₁²+e₂²=2的證明，考查k₁+k₂+k₃+k₄=0的證明，考查k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值的求法，解題時要注意函數(shù)與方程思想的合理運用．