Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥底面ABC，∠ACB=90°，AA₁=AC=BC=2，D為AB中點．
（Ⅰ）求證：AB₁⊥A₁C；
（Ⅱ）求證：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅲ）求直線AA₁與平面A₁CD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：計算題,證明題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由線面垂直的判定和性質，即可得證；（Ⅱ）連接A₁C，交A₁C于O點，由中位線定理得到DO∥BC₁，再由線面平行的判定定理即可得證；（Ⅲ）過A作AH⊥A₁D交A₁D于H，通過線面垂直的判定和性質，和面面垂直的判定和性質即可得到AH⊥平面A₁CD，故∠AA₁D為直線AA₁與平面A₁CD所成的角，在△AA₁D中，求出sin∠AA₁D即可．

解答： （Ⅰ）證明：∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
A₁A⊥平面ABC，∠ACB=90°，
∴B₁C₁⊥平面A₁ACC₁，
又∵A₁C?平面A₁ACC₁，
∴A₁C⊥B₁C₁，
連接AC₁，有AC₁⊥A₁C，
∴A₁C⊥平面AB₁C₁，
∴AB₁⊥A₁C；
（Ⅱ）證明：連接A₁C，交A₁C于O點，
則DO為△ABC₁的中位線，
∴DO∥BC₁，
又DO?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅲ）解：過A作AH⊥A₁D交A₁D于H，
∵AC=BC，D為AB的中點，∴CD⊥AB，
∵A₁A⊥平面ABC，∴A₁A⊥CD，又A₁A∩AB=A，
∴CD⊥平面A₁AD，
∴平面A₁AD⊥平面A₁CD，
∴AH⊥平面A₁CD，∴∠AA₁D為直線AA₁與平面A₁CD所成的角，
∴在△AA₁D中，AA₁=2，AD=

2

，∴A₁D=

6

，∴sin∠AA₁D=

3

3

，
故直線AA₁與平面A₁CD所成的角的正弦為

3

3

．

點評：本題主要考查空間直線與平面的位置關系，考查線面平行的判定，線面垂直的判定和性質，面面垂直的判定和性質，以及直線與平面所成的角的求法，熟記這些概念和判定和性質是迅速解題的關鍵．