Question

設(shè)A_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且有A_n=

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（a_n-1）（n∈N₊），數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為b_n=4n+3（n∈N₊）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若d∈{a₁，a₂，…a_n}∩{b₁，b₂，…b_n}，則稱d為數(shù)列{a_n}與{b_n}的公共項(xiàng)．如果將數(shù)列{a_n}與{b_n}的公共項(xiàng)按它們?cè)谠瓟?shù)列的順序排成一個(gè)新的數(shù)列{d_n}，求{d_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由A_n=

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（a_n-1）（n∈N₊），再寫一式，兩式相減，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）a₁、a₂不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．a(chǎn)₃=27=4×6+3，d₁=27是數(shù)列{b_n}中的第6項(xiàng)，設(shè)a_k=3^k是數(shù)列{b_n}中的第m項(xiàng)，則3^k=4m+3（k、m∈N^*）．再證明a_k+1不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．a(chǎn)_k+2是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．所以d₁=a₃，d₂=a₅，d₃=a₇，…，d_n=a_2n+1，由此求出數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：（1）∵A_n=

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（a_n-1）（n∈N^*），
∴a₁=3．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=A_n=

3

2

（a_n-1）-

3

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（a_n-1-1），
∴a_n=3a_n-1（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是以3首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n=3•3^n-1=3ⁿ（n∈N^*）；
（2）由（Ⅰ）知a₁、a₂顯然不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．
∵a₃=27=4×6+3，
∴d₁=27是數(shù)列{b_n}中的第6項(xiàng)，
設(shè)a_k=3^k是數(shù)列{b_n}中的第m項(xiàng)，則3^k=4m+3（k、m∈N^*）．
∵a_k+1=3^k+1=3×3^k=3（4m+3）=4（3m+2）+1，
∴a_k+1不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．
∵a_k+2=3^k+2=9×3^k=9（4m+3）=4（9m+6）+3，
∴a_k+2是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．
∴d₁=a₃，d₂=a₅，d₃=a₇，…，d_n=a_2n+1，
∴數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式是d_n=3²ⁿ⁺¹（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查等比數(shù)列的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的合理運(yùn)用．