Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2AC=4，延長CB至D，使CB=BD．
（1）求證：直線C₁B∥平面AB₁D；
（2）求平面AB₁D與平面ACB所成銳角的正切值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結C₁B，由已知條件推導出四邊形C₁BDB₁是平行四邊形，由此能證明直線C₁B∥平面AB₁D．
（Ⅱ）以A為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面AB₁D與平面ACB所成角的正切值．

解答： （Ⅰ）證明：連結C₁B，則C₁B₁=CB=DB，又C₁B₁∥BD，
所以，四邊形C₁BDB₁是平行四邊形，…（4分）
所以，C₁B∥B₁D，又B₁D?平面AB₁D，
所以，直線C₁B∥平面AB₁D．…（7分）
（Ⅱ）解：在△ACD中，由于CB=BD=BA，
所以，∠DAC=90°，
以A為原點，建立如圖空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B₁（

3

，1，4），D（2

3

，0，0），

AD

=（2

3

，0，0），

AB1

=（

3

，1，4）…（10分）
設平面AB₁D的法向量

n

=（x，y，z），
則

2 3 x=0 3 x+y+4z=0

，
取z=1，則

n

=（0，-4，1）…（12分）
取平面ACB的法向量為

m

=（0，0，1）
則cos＜

n

，

m

＞=

1

17

，
所以tan＜

n

，

m

＞=4，
所以，平面AB₁D與平面ACB所成角的正切值為4．…（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面所成角的正切值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．