Question

某服裝廠品牌服裝的年固定成本100萬元，每生產(chǎn)1萬件需另投入27萬元，設(shè)服裝廠一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝x萬件并全部銷售完，每萬件的銷售收入為R（x）萬元．且R（x）=

108- 1 3 x2(0＜x≤10) 1080 x - 10000 3x2  (x＞10)

（1）寫出年利潤y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式；   
（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，服裝廠在這一品牌的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？（注：年利潤二年銷售收入-年總成本）

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：應用題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）根據(jù)年利潤=年銷售收入-年總成本，可得年利潤y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由（1）的解析式，我們求出各段上的最大值，即利潤的最大值，然后根據(jù)分段函數(shù)的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到結(jié)果．

解答： 解：（1）當0＜x≤10時，y=x（108-

1

3

x2）-100-27x=81x-

1

3

x3-100，
當x＞10時，y=（

1080

x

-

10000

3x2

）x-100-27x=980-（

10000

3x

+27x），
∴y=

81x- 1 3 x3-100(0＜x≤10) 980-( 10000 3x +27x)(x＞10)

（2）①當0＜x≤10時，y′=81-x²，令y′=0可得x=9，
x∈（0，9）時，y′＞0；x∈（9，10）時，y′＜0，
∴x=9時，y_max=386萬元；
②當x＞10時，y=980-（

10000

3x

+27x）≤980-600=380（萬元）
（當且僅當x=

100

9

時取等號）…（10分）
綜合①②知：當x=9時，y取最大值…（11分）
故當年產(chǎn)量為9萬件時，服裝廠在這一品牌服裝的生產(chǎn)中獲年利潤最大…（12分）

點評：本題考查的知識點是分段函數(shù)及函數(shù)的最值，分段函數(shù)分段處理，這是研究分段函數(shù)圖象和性質(zhì)最核心的理念，具體做法是：分段函數(shù)的定義域、值域是各段上x、y取值范圍的并集，分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性要在各段上分別論證；分段函數(shù)的最大值，是各段上最大值中的最大者．