Question

已知曲線(xiàn)y=

1

t-x

上兩點(diǎn)P（2，-1）、Q（-1，

1

2

）．求：
（1）曲線(xiàn)在點(diǎn)P處，點(diǎn)Q處的切線(xiàn)斜率；
（2）曲線(xiàn)在點(diǎn)P、Q處的切線(xiàn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）將P點(diǎn)坐標(biāo)代入，可求出曲線(xiàn)方程，進(jìn)而求出切線(xiàn)導(dǎo)函數(shù)的解析式，求出P，Q兩點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值，可得曲線(xiàn)在點(diǎn)P處，點(diǎn)Q處的切線(xiàn)斜率；
（2）由（1）中切線(xiàn)的斜率，及切點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，可得答案．

解答： 解：（1）將P（2，-1）代入y=

1

t-x

得：-1=

1

t-2

，
解得t=1，
∴y=

1

1-x

，
∴y′=

1

(1-x)2

，
∵y′|_x=2=1，y′|_x=-1=

1

4

，
故曲線(xiàn)在點(diǎn)P處，點(diǎn)Q處的切線(xiàn)斜率分別為：1，

1

4

，
（2）由（1）得曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為：y+1=x-2，即x-y-3=0，
曲線(xiàn)在點(diǎn)Q處的切線(xiàn)方程為：y-

1

2

=

1

4

（x+1），即x-4y+3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程，若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（x₀，f（x₀））處的切線(xiàn)斜率為k，則f'（x₀）=k．