Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）給出的一個(gè)取值，使得曲線存在斜率為的切線，并說(shuō)明理由；

（Ⅱ）若存在極小值和極大值，證明： 的極小值大于極大值.

Answer 1

【答案】（I）詳見(jiàn)解析；（II）詳見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，只需令方程 有解即可得 的范圍，進(jìn)而可得的一個(gè)取值，在驗(yàn)證即可；（Ⅱ）對(duì)求導(dǎo)；求方程的所有實(shí)數(shù)根，列表格判斷各個(gè)根左右兩邊符合。進(jìn)而可得結(jié)果．

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域是且，且.

當(dāng)時(shí)，曲線存在斜率為的切線.證明如下：

曲線存在斜率為的切線方程存在上的解，

令，整理得，

解得，或.

所以，當(dāng)時(shí)，曲線存在斜率為的切線.

注：本題答案不唯一，只要均符合要求.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得.

①當(dāng)時(shí)， 恒成立，

函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不合題意.

②當(dāng)時(shí)，令，整理得.

由，

所以，上述方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解， ，不妨設(shè).

由得.

， 的變化情況如下表：

所以， 存在極大值，極小值.

.

因?yàn)?/span>，且.

所以， ，

所以.

所以的極小值大于極大值.