Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；

（Ⅱ）證明： 是函數(shù)存在最小值的充分而不必要條件.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）詳見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）對函數(shù)求導(dǎo)有 ，令，求出根，得到 的零點(diǎn)個數(shù)，注意分情況討論；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的分類討論，分別利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系以及充分不必要條件的定義即可證明.

試題解析：

（Ⅰ）由，

得

令，得，或.

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)： ；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個相異的零點(diǎn)： ， .

（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)， 恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以，函數(shù)無極值.

②當(dāng)時(shí)， ， 的變化情況如下表：

所以， 時(shí)， 的極小值為.

又時(shí)， ，

所以，當(dāng)時(shí)， 恒成立.

所以， 為的最小值.

故是函數(shù)存在最小值的充分條件.

③當(dāng)時(shí)， ， 的變化情況如下表：

因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ，

又，

所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)也存在最小值.

所以， 不是函數(shù)存在最小值的必要條件.

綜上， 是函數(shù)存在最小值的充分而不必要條件.

點(diǎn)睛; 本題注意考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值的關(guān)系，屬于中檔題. 涉及的考點(diǎn)有：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值，充分不必要條件的判斷，根的存在及個數(shù)判斷. 考查了學(xué)生分析問題和轉(zhuǎn)化的能力以及分類討論思想.