Question

12．設定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足x²f′（x）+2xf（x）=1+lnx，f（1）=0，若關于x的方程f（x）=a有兩個不等實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 由已知可得f（x）=$\frac{lnx}{x}$，分析出f（x）=$\frac{lnx}{x}$的圖象和性質，可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：令g（x）=x²f（x），
則g′（x）=x²f′（x）+2xf（x）=1+lnx，
∴g（x）=x•lnx+c，
∴f（x）=$\frac{x•lnx+c}{{x}^{2}}$，
∵f（1）=c=0，
∴f（x）=$\frac{x•lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{lnx}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
當x∈（0，e）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
故當x=e時，f（x）取最大值$\frac{1}{e}$，
又由$\lim_{x→0}f（x）=-∞$，$\lim_{x→+∞}f（x）=0$，
故若關于x的方程f（x）=a有兩個不等實數(shù)根，則實數(shù)a∈（0，$\frac{1}{e}$），
故答案為：（0，$\frac{1}{e}$）

點評 本題考查的知識點是根的存在性及極的個數(shù)判斷，導數(shù)法判斷函數(shù)的單調性和最值，難度中檔．