Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{|x-1|}-1，x≥0}\\{{x}^{2}+2x+1，x＜0}\end{array}\right.$，若f²（x）-（3a-1）f（x）+a²=0有5個不同的實(shí)數(shù)解，則a=2．

Answer 1

分析 令t=f（x），方程f²（x）-（3a-1）f（x）+a²=0可化為t²-（3a-1）t+a²=0，畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{|x-1|}-1，x≥0}\\{{x}^{2}+2x+1，x＜0}\end{array}\right.$的圖象，數(shù)形結(jié)合，可得方程t²-（3a-1）t+a²=0有兩個根，其中一個為1，一個為0或大于1的數(shù)，進(jìn)而可得答案．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{|x-1|}-1，x≥0}\\{{x}^{2}+2x+1，x＜0}\end{array}\right.$的圖象如圖所示：
令t=f（x），則方程f²（x）-（3a-1）f（x）+a²=0可化為t²-（3a-1）t+a²=0，
若方程f²（x）-（3a-1）f（x）+a²=0有5個不同的實(shí)數(shù)解，
則方程t²-（3a-1）t+a²=0有兩個根，其中一個為1，一個為0或大于1的數(shù)，
將t=1代入得：1-（3a-1）+a²=0，
解得：a=1，或a=2，
當(dāng)a=1時，方程t²-（3a-1）t+a²=0可化為：方程t²-2t+1=0，此時方程只有一個根1，不滿足條件；
當(dāng)a=2時，方程t²-（3a-1）t+a²=0可化為：方程t²-5t+4=0，此時方程一個根為1，一個根為4，滿足條件；
綜上所述：a=2，
故答案為：2

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，難度中檔．