Question

已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)a₁=2，a₄=16．
（l）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列b_n=lga_n，證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列并求前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（l）等比數(shù)列{a_n}中，由a₁=2，a₄=16可求得公比q，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知b_n=nlg2，易求b_n-b_n-1=lg2（n≥2），從而可證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列并求前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵{a_n}是等比數(shù)列，a₁=2，a₄=16，
∴a₁q³=16，q=2，
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ．
（2）∵b_n=lga_n=lg2ⁿ=nlg2，
∴b_n-b_n-1=nlg2-（n-1）lg2=lg2（n≥2），
∴{b_n}是以lg2為首項(xiàng)，以lg2為公差的等差數(shù)列．
∴T_n=

(lg2)n(n+1)

2

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差關(guān)系的確定，屬于中檔題．