Question

14．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{3x-y≥1}\\{y≥x+1}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值為2，則$\frac{2}{a}+\frac{3}$的最小值為$\frac{25}{2}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)可得$a+\frac{3}{2}b=1$，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{3x-y≥1}\\{y≥x+1}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，解得A（2，3），
化目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）為$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，
由圖可知，當(dāng)直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$過A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為2a+3b=2．
∴$a+\frac{3}{2}b=1$，
則$\frac{2}{a}+\frac{3}$=（$\frac{2}{a}+\frac{3}$）（$a+\frac{3}{2}b$）=2+$\frac{9}{2}+\frac{3b}{a}+\frac{3a}$$≥\frac{13}{2}+2\sqrt{\frac{3b}{a}•\frac{3a}}=\frac{25}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)上式等號成立．
故答案為：$\frac{25}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．