Question

已知函數f（x）=alnx-x²，函數f（x）在x=1處取得極值．
（1）求實數a的值；
（2）函數g（x）=f（x）-mx的圖象與x軸交于兩點A（x₁，0），B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，又g′（x）是函數g（x）的導函數，證明：g′(

x1+x2

2

)＜0．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）根據f（x）在x=1處取得極值知f′（1）=a-2=0，解方程即可求實數a的值；
（2）由題意可得，f（x）-mx=0有兩個實根x₁，x₂，化簡可得x₁+x₂+m=

2ln x1 x2

x1-x2

，從而不等式g′(

x1+x2

2

)＜0，可化為

2(x1-x2)

x1+x2

＞ln

x1

x2

，令

x1

x2

=t，則0＜t＜1，令h（t）=2-

4

t+1

-lnt，利用導數推出在（0，1）上，h′（t）＜0，h（t）單調遞減，h（t）＞h（1）=0，從而不等式可證．

解答： （1）解：∵f（x）=alnx-x²，
∴f′（x）=

a

x

-2x，
∵函數f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=a-2=0，
∴a=2；
（2）證明：g（x）=f（x）-mx=2lnx-x²-mx，
∴g′（x）=

2

x

-2x-m，
∵函數g（x）=f（x）-mx的圖象與x軸交于兩點A（x₁，0），B（x₂，0），
∴2lnx₁-x₁²-mx₁=0，2lnx₂-x₂²-mx₂=0，
兩式相減可得2ln

x1

x2

-（x₁+x₂）（x₁-x₂）-m（x₁-x₂）=0
∴x₁+x₂+m=

2ln x1 x2

x1-x2

，
g′（

x1+x2

2

）=

4

x1+x2

-（x₁+x₂+m）=

4

x1+x2

-

2ln x1 x2

x1-x2

，
要證g′(

x1+x2

2

)＜0，
即證

4

x1+x2

-

2ln x1 x2

x1-x2

＜0，
即證

2(x1-x2)

x1+x2

＞ln

x1

x2

，
即證

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

-ln

x1

x2

=2-

4

x1 x2 +1

-ln

x1

x2

＞0…①，
令

x1

x2

=t，則0＜t＜1，
令h（t）=2-

4

t+1

-lnt，
則h′（t）=

4

(t+1)2

-

1

t

，
由h′（t）=0得，t=1，
∴當0＜t＜1時h′（t）＜0，h（t）單調遞減，
∴h（t）＞h（1）=0，
∴①式得證．

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，利用函數的單調性求函數在閉區(qū)間上的最值，用分析法證明不等式，體現了轉化的數學思想，屬于難題．