Question

12．已知函數(shù)f（x）=4sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）+1，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）先將cos（x+$\frac{π}{6}$）展開，然后借助于輔助角公式化簡，求解函數(shù)的周期；
（2）根據(jù)x的范圍求出2x+$\frac{π}{6}$的范圍，結合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出最值．

解答 解：（1）f（x）=4sinxcosxcos$\frac{π}{6}$-4sin²xsin$\frac{π}{6}$+1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∴f（x）的最小正周期是$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{3}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴當2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$時，f（x）取得最小值-$\sqrt{3}$，
當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值2．

點評 本題綜合考查三角公式，三角恒等變換等知識，屬于中檔題．