Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=BB₁=1，AB=

2

．
（Ⅰ）求證：平面AB₁C⊥平面B₁CB；
（Ⅱ）求三棱錐A₁-AB₁C的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明面AB₁C⊥面B₁CB．
（Ⅱ）利用向量法求出點(diǎn)A₁到平面AB₁C的距離，由此能求出三棱錐A₁-AB₁C的體積．

解答： （Ⅰ）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
AC=BC=BB1=1，AB=

2

，
∴CA⊥CB，AB1=CB1=

2

，
以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
C（0，0，0），A（1，0，0），B₁（0，1，1），

CA

=(1，0，0)，

CB1

=(0，1，1)，
設(shè)平面ACB₁的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • CA =x=0 n • CB1 =y+z=0

，取y=1，得

n

=(0，1，-1)，
又平面B₁CB的法向量

m

=(1，0，0)，
∵

m

•

n

=0，∴平面AB₁C⊥平面B₁CB．
（Ⅱ）A1(1，0，1)，

CA1

=(1，0，1)，
點(diǎn)A₁到平面AB₁C的距離d=

| CA1 • n |

| n |

=

|-1|

2 • 2

=

1

2

，
S△ACB1=

1

2

×1×

2- 1 4

=

7

4

，
∴三棱錐A₁-AB₁C的體積V=

1

3

×

1

2

×

7

4

=

7

24

．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．