Question

9．函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1，若f（x）=0存在唯一正實(shí)數(shù)根x₀，則a取值范圍是（-∞，-2）．

Answer 1

分析 分類討論：當(dāng)a≥0時(shí)，容易判斷出不符合題意；當(dāng)a＜0時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求極小值f（$\frac{2}{a}$）＞0，解出即可得到a的范圍．

解答 解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-3x²+1=0，解得x=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，應(yīng)舍去；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$）=0，
解得x=0或x=$\frac{2}{a}$＞0，列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，$\frac{2}{a}$）	$\frac{2}{a}$	（$\frac{2}{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∵x→-∞，f（x）→-∞，而f（0）=1＞0，
∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合條件：f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＞0，應(yīng)舍去．
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$）=0，
解得x=0或x=$\frac{2}{a}$＜0，列表如下：

x	（-∞，$\frac{2}{a}$）	$\frac{2}{a}$	（ $\frac{2}{a}$，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

而f（0）=1＞0，x→+∞時(shí)，f（x）→-∞，∴存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，
∵f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，且x₀＞0，∴極小值f（$\frac{2}{a}$）=a $\frac{2}{a}$）³-3（$\frac{2}{a}$）²+1＞0，
化為a²＞4，∵a＜0，∴a＜-2．
綜上可知：a的取值范圍是（-∞，-2）．
故答案為：（-∞，-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，函數(shù)的零點(diǎn)的判斷及應(yīng)用，屬于難題．