18.在平面直角坐標(biāo)系中,定義$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n+1}={y}_{n}-{x}_{n}}\\{{y}_{n+1}={y}_{n}+{x}_{n}}\end{array}\right.$(n∈N*為點(diǎn)Pn(xn,yn)到點(diǎn)Pn+1(xn+1,yn+1)的一個(gè)變換,我們把它稱(chēng)為點(diǎn)變換.已知P1(0,1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),Pn+1(xn+1,yn+1)是經(jīng)過(guò)點(diǎn)變換得到的一列點(diǎn).設(shè)an=|PnPn+1|,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,那么$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$的值為=2+$\sqrt{2}$.

分析 由題設(shè)知a1=|(0,1)•(1,1)|=1,a2=|(1,1)•(0,2)|=$\sqrt{2}$,a3=|(0,2)•(2,2)|=2,a4=|(2,2)•(0,4)|=2$\sqrt{2}$,…,an=($\sqrt{2}$)n-1,Sn=a1+a2+a3+…+an=$\frac{(\sqrt{2})^{n}-1}{\sqrt{2}-1}$.由此可求出$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$的值.

解答 解:由題設(shè)知P1(0,1),P2(1,1),a1=|P1P2|=1,
且當(dāng)n≥2時(shí),an2=|PnPn+1|2=(xn+1-xn2-(yn+1-yn2
=[(yn-xn)-xn]2+[(yn+xn)-yn]2=5xn2-4xnyn+yn2
 an-12=|Pn-1Pn|2=(xn-xn-12-(yn-yn-12
由定義$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n+1}={y}_{n}-{x}_{n}}\\{{y}_{n+1}={y}_{n}+{x}_{n}}\end{array}\right.$(n∈N),得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n}={y}_{n-1}-{x}_{n-1}}\\{{y}_{n}={y}_{n-1}+{x}_{n-1}}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n-1}=\frac{{y}_{n}-{x}_{n}}{2}}\\{{y}_{n-1}=\frac{{y}_{n}+{x}_{n}}{2}}\end{array}\right.$,
代入①計(jì)算化簡(jiǎn)得an-12=|Pn-1Pn|2=($\frac{3x-y}{2}$)2+($\frac{y-x}{2}$)2=$\frac{1}{2}$(5xn2-4xnyn+yn2)=$\frac{1}{2}$an2
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\sqrt{2}$(n≥2),
∴數(shù)列{an}是以$\sqrt{2}$為公比的等比數(shù)列,且首項(xiàng)a1=1,
∴an=($\sqrt{2}$)n-1,
∴Sn=a1+a2+a3+…+an=$\frac{(\sqrt{2})^{n}-1}{\sqrt{2}-1}$.
∴$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{(\sqrt{2})^{n}-1}{\sqrt{2}-1}$•$\frac{1}{(\sqrt{2})^{n-1}}$=$\frac{\sqrt{2}-\frac{1}{(\sqrt{2})^{n-1}}}{\sqrt{2}-1}$,
則$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\sqrt{2}-\frac{1}{(\sqrt{2})^{n-1}}}{\sqrt{2}-1}$=$\frac{\sqrt{2}-0}{\sqrt{2}-1}$=2+$\sqrt{2}$.
故答案為:$2+\sqrt{2}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查集合的性質(zhì)和運(yùn)算,解題時(shí)要注意等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的合理運(yùn)用,屬于中檔題.

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