Question

已知函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

6

)+sin(2x-

π

6

)-2cos2x，x∈[-

π

6

，

π

2

]
（1）化簡函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值及相應(yīng)的自變量x的取值．

Answer 1

分析：（1）把函數(shù)解析式的第一、二項利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，第三項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)即可；
（2）由x的范圍，求出（1）中化簡后解析式中正弦函數(shù)角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出正弦函數(shù)的值域，即可得到函數(shù)f（x）的最大值及此時自變量x的取值．

解答：解：（1）f(x)=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-cos2x-1
=

3

sin2x-cos2x-1=2sin(2x-

π

6

)-1；
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

2

，

5π

6

]，
∴sin(2x-

π

6

)∈[-1，1]，
則當2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時，函數(shù)f（x）有最大值1．

點評：此題考查了三角函數(shù)的化簡求值，涉及的知識有：兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域及值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，其中利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．