Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）圖象上某個最高點(diǎn)坐標(biāo)為（2，

2

），由此最高點(diǎn)到相鄰的最低點(diǎn)間函數(shù)圖象與x軸交于一點(diǎn)（6，0）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求使函數(shù)取最小值時x的取值集合；
（Ⅲ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，把定點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式求得φ的值，從而求得函數(shù)的解析式
（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得y取得最大值和最小值，以及函數(shù)取最小值時x的取值集合．
（Ⅲ）令 2kπ-

π

2

≤

π

8

x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間；令2kπ+

π

2

≤

π

8

x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，求得x的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得T=4×（6-2）=16=

2π

ω

，所以ω=

π

8

，A=

2

，
將點(diǎn)（2，

2

）帶入知函數(shù)f（x）=

2

sin（

π

8

x+φ），根據(jù)0＜φ＜

π

2

求得φ=

π

4

，
∴y=

2

sin（

π

8

x+

π

4

）．
（Ⅱ）當(dāng)

π

8

x+

π

4

=2kл+

π

2

，即x=16k+2，k∈z時，y取得最大為

2

；
當(dāng)

π

8

x+

π

4

=2kл+

3π

2

，即x=16k+10，k∈z時，y取得最小值為-

2

．
（Ⅲ）令 2kπ-

π

2

≤

π

8

x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得16k-6≤x≤16k+2，
故函數(shù)的增區(qū)間為[16k-6，16k+2]；
令2kπ+

π

2

≤

π

8

x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z時，求得16k+2≤x≤16k+10，
故函數(shù)的減區(qū)間為[16k+2，16k+10]（k∈Z）．

點(diǎn)評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的最值求出A，由周期求出ω，把定點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式求得φ的值，正弦函數(shù)的最值以及單調(diào)性，屬于中檔題．