Question

(本小題滿分14分) 已知在單位圓x²+y²=1上任取一點(diǎn)M，作MN⊥x軸，垂足為N， = 2．
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡的方程；
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上任一點(diǎn)，求點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值；
(Ⅲ)在的條件下，設(shè)△的面積為(是坐標(biāo)原點(diǎn)，是曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn))，以為邊長的正方形的面積為．若正數(shù)滿足，問是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出此最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

(1) 
(2)時(shí),；
時(shí),；
時(shí)，,．所以， 
(3)

試題分析：解：(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），M（x₀，y₀），則N（x₀，0）
∴
∵=
∴
∵   ∴
∵點(diǎn)M（x₀，y₀）在單位圓x² + y² = 1上
∴
所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程為      .........................4分
(Ⅱ)設(shè)，則

，令，，所以，
當(dāng)，即時(shí)在上是減函數(shù)，；
當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，則；
當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，．
所以， ．          9分
(Ⅲ)當(dāng)時(shí)，，于是，，
若正數(shù)滿足條件，則，即，
，令，設(shè)，則，，于是
，
所以，當(dāng)，即時(shí)，，
即，．所以，存在最小值．          14分
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用向量法坐標(biāo)法得到軌跡方程，同時(shí)能利用點(diǎn)到直線的距離得到最值，屬于基礎(chǔ)題。