Question

10．求到兩不同定點距離之比為一常數λ（λ≠0）的動點的軌跡．

Answer 1

分析 設點M（x，y）是曲線上的任意一點，欲求出動點M的軌跡方程，只須求出x，y的關系式即可，結合距離的比，用坐標來表示距離，利用兩點間的距離公式化簡即可求得點P的軌跡方程．

解答 解：建立坐標系如圖所示，設|AB|=2a，則A（-a，0），B（a，0）．設M（x，y）是軌跡上任意一點．
則由題設，得$\frac{|MA|}{|MB|}$=λ，坐標代入，得$\frac{\sqrt{（x+a）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-a）^{2}+{y}^{2}}}$=λ，
化簡得（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+2a（1+λ²）x+（1-λ²）a²=0
（1）當λ=1時，即|MA|=|MB|時，點M的軌跡方程是x=0，點M的軌跡是直線（y軸）．
（2）當λ≠1且λ≠0時，點M的軌跡方程是x²+y²+$\frac{2a（1+{λ}^{2}）}{1-{λ}^{2}}$x+a²=0，點M的軌跡是以（-$\frac{a（1+{λ}^{2}）}{1-{λ}^{2}}$，0）為圓心，$\frac{2aλ}{|1-{λ}^{2}|}$為半徑的圓．

點評 本題考查軌跡方程，利用的是直接法，直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．