Question

已知函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且當x＞0時，f（x）＞1．
（1）求證：函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x²-ax+5a）＜f（m）的解集為{x|-3＜x＜2}，求m的值．
（3）若f（1）=2，求f（2013）的值．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用定義證明單調(diào)性，要能夠很好的利用f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且當x＞0時，f（x）＞1這兩個條件，
（2）根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性可得對應的一元二次不等式，由于其解集已經(jīng)知道，于是得到方程x²-ax+5a-m=0的根為-3和2，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以求出．
（3）通過賦值法可得到f（n）-f（n-1）=1，累加可得．

解答： 解：（1）設(shè)x₁，x₂，x₁-x₂＞0，
∵當x＞0時，f（x）＞1．
∴f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）-1
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）-1＞0，
故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）由（1）知函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
∵不等式f（x²-ax+5a）＜f（m），
∴x²-ax+5a＜m，
即x²-ax+5a-m＜0，
∵關(guān)于x的不等式f（x²-ax+5a）＜f（m）的解集為{x|-3＜x＜2}，
∴方程x²-ax+5a-m=0的根為-3和2，
∴-3+2=a，-3×2=5a-m，
解得a=-1，m=1，
（3）∵f（1）=2
令x=n-1，y=1，得f（n）-f（n-1）=1，
令x=n-2，y=1，得f（n-1）-f（n-2）=1
…
令x=1，y=1得f（2）-f（1）=1，
所以累加可得，f（n）=2+（n-1）×1=n+1，
故f（2013）=2014．

點評：本題主要考查了利用賦值法求解函數(shù)的函數(shù)值，判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及利用單調(diào)性求解不等式等函數(shù)知識的綜合應用．