Question

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)若為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)若，當(dāng)時(shí)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

(1)求得的導(dǎo)數(shù)，，得到方程的判別式，分和、三種討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；

(2)由，當(dāng)時(shí)，只需，

故只需證明當(dāng)時(shí)，，求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

(1)由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則，

方程的判別式.

(ⅰ)若，即，在的定義域內(nèi)，故單調(diào)遞增．

(ⅱ)若，則或.

若，則，.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以單調(diào)遞增．

若，單調(diào)遞增．

(ⅲ)若 ，即或，

則有兩個(gè)不同的實(shí)根，

當(dāng)時(shí)，，從而在的定義域內(nèi)沒有零點(diǎn)，

故單調(diào)遞增．

當(dāng)時(shí)，，在的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

即在定義域上不單調(diào)．綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為.

(2)因?yàn)?/span>，

當(dāng)，時(shí)，，

故只需證明當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

又，故在上有唯一實(shí)根，且，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

從而當(dāng) 時(shí)，)取得最小值．

由得，即，

故，

所以.

綜上，當(dāng)時(shí)，.