Question

【題目】設函數.

(1)若為定義域上的單調函數，求實數的取值范圍；

(2)若，當時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

(1)求得的導數，，得到方程的判別式，分和、三種討論，求得函數的單調性，即可求解；

(2)由，當時，只需，

故只需證明當時，，求得函數的單調性與最值，即可求解.

(1)由題意，函數的定義域為，則，

方程的判別式.

(ⅰ)若，即，在的定義域內，故單調遞增．

(ⅱ)若，則或.

若，則，.

當時，，當時，，

所以單調遞增．

若，單調遞增．

(ⅲ)若 ，即或，

則有兩個不同的實根，

當時，，從而在的定義域內沒有零點，

故單調遞增．

當時，，在的定義域內有兩個不同的零點，

即在定義域上不單調．綜上：實數的取值范圍為.

(2)因為，

當，時，，

故只需證明當時，.

當時，函數在上單調遞增，

又，故在上有唯一實根，且，

當時，，當時，，

從而當 時，)取得最小值．

由得，即，

故，

所以.

綜上，當時，.