Question

已知在平面內(nèi)點P滿足|PM|-|PN|=2

2

，M（-2，0），N（ 2，0 ），O（0，0）
（1）求點P的軌跡S；
（2）（理）直線過點（2，0）與S交于點A，B，求△OAB的面積的最小值．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì),雙曲線的定義

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)雙曲線的定義，我們可以求點P的軌跡S；
（2）分類討論．當(dāng)AB與x軸不垂直時，AB的方程為y=k（x-2），與x²-y²=2（x＞0）聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及弦長公式求出|AB|，再求出點O到直線AB的距離，可得面積，進(jìn)而可以求出面積的最大值．

解答： 解：（1）由題意，因為在平面內(nèi)點P滿足|PM|-|PN|=2

2

，M（-2，0），N（ 2，0 ），
所以點P的軌跡S是雙曲線的右支：x²-y²=2（x＞0）
（2）當(dāng)AB與x軸不垂直時，AB的方程為y=k（x-2）
因為直線y=k（x-2）與S交與點A，B，結(jié)合漸近線斜率可得k＞1或k＜-1
聯(lián)立y=k（x-2）與x²-y²=2（x＞0），消元，可得：(1-k2)x_+4k2x-4k2-2=0，
故x1+x2=-

4k2

1-k2

，x1x2=-

4k2+2

1-k2

弦長|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

(- 4k2 1-k2 )2+ 16k2+8 1-k2

=2

2

k2+1

k2-1

又點O到直線AB的距離d=

|-2k|

1+k2

，
故S△OAB=

1

2

|AB|•d=

|k|

1+k2

•2

2

k2+1

k2-1

=2

2

|k| 1+k2

k2-1

因為S2△OAB=

8k2(k2+1)

(k2-1)2

=

8[(k2-1)+1][(k2-1)+2]

(k2-1)2

=8(

1

k2-1

+1)(

2

k2-1

+1)
令t=

1

k2-1

∈(0，+∞)，有S²_△OAB=8（t+1）（2t+1）＞8，
所以S△OAB＞2

2

當(dāng)AB⊥x軸時，|AB|=

2b2

a

=

4

2

=2

2

，S△OAB=

1

2

×2×2

2

=2

2

所以，當(dāng)AB⊥x軸時，△OAB的面積最小，最小值是2

2

．

點評：本題考查雙曲線的定義與方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，正確運用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．