Question

正四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，若該正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為

6

，則這個(gè)球的表面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：球

分析：設(shè)球半徑為R，底面中心為O′且球心為O．正四棱錐P-ABCD中根據(jù)AB=2且PA=

6

，算出AO′=

2

、PO′=2、OO′=2-R，在Rt△AOO′中利用勾股定理建立關(guān)于R的等式，解出R=

3

2

，再利用球的表面積公式即可得到外接球的表面積．

解答： 解：如圖所示，設(shè)球半徑為R，底面中心為O′且球心為O，
∵正四棱錐P-ABCD中AB=2，PA=

6

，
∴AO′=

2

2

AB=

2

，可得PO′=

PA2-AO2

=2，OO′=PO′-PO=2-R．
∵在Rt△AOO′中，AO²=AO′²+OO′²，
∴R²=（

2

）²+（2-R）²，解之得R=

3

2

，
因此可得外接球的表面積為：4πR²=4π×(

3

2

)2=9π．
故答案為：9π．

點(diǎn)評(píng)：本題給出正四棱錐的形狀，求它的外接球的體積，著重考查了正棱錐的性質(zhì)、多面體的外接球、勾股定理與球的體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．