Question

14．已知函數(shù)f（x）=ln（sinx+$\sqrt{si{n}^{2}x+α}$），-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{2}$，a為實(shí)常數(shù)，且f（x）為奇函數(shù)．
（1）求a的值；試說明函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并求f（x）的值域；
（2）設(shè)g（x）為f（arcsinx）的反函數(shù)，并指出g（x）的定義域與值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（0）=lna=0，解得a=1，再運(yùn)用單調(diào)性求函數(shù)值域；
（2）運(yùn)用sin（arcsinx）=x，求反函數(shù)的表達(dá)式，再根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系確定g（x）的定義域和值域．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）為（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，
即f（0）=ln$\sqrt{a}$=0，解得a=1，函數(shù)奇偶性驗(yàn)證如下：
f（x）+f（-x）=ln（sinx+$\sqrt{sin^2x+1}$）+ln（-sinx+$\sqrt{sin^2x+1}$）
=ln（sin²x+1-sin²x）=ln1=0，
所以，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ln（sinx+$\sqrt{sin^2x+1}$）是奇函數(shù)，
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，sinx，$\sqrt{sin^2x+1}$都為增函數(shù)，
所以，f（x）為[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的增函數(shù)，
因此，f（x）_min=f（-$\frac{π}{2}$）=ln（$\sqrt{2}$-1），f（x）_max=f（$\frac{π}{2}$）=ln（$\sqrt{2}$+1），
故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇ln（$\sqrt{2}$-1），ln（$\sqrt{2}$+1）]；
（2）因?yàn)閟in（arcsinx）=x，x∈[-1，1]，
所以，y=f（arcsinx）=ln（x+$\sqrt{x^2+1}$），
該函數(shù)的定義域?yàn)閤∈[-1，1]，值域?yàn)閇ln（$\sqrt{2}$-1），ln（$\sqrt{2}$+1）]，
而函數(shù)y=ln（x+$\sqrt{x^2+1}$）的反函數(shù)就是g（x），反函數(shù)求解過程如下：
而e^y=x+$\sqrt{x^2+1}$，即e^y-x=$\sqrt{x^2+1}$，
兩邊平方再分離x得，x=$\frac{1}{2}$（e^y-e^-y），
所以，其反函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x），
該函數(shù)的定義域?yàn)閇ln（$\sqrt{2}$-1），ln（$\sqrt{2}$+1）]，值域?yàn)閇-1，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，以及函數(shù)的單調(diào)性和值域，反函數(shù)的求法，屬于中檔題．