Question

已知直線l：y=2x-

3

與橢圓C：

x2

a2

+y2=1  (a＞1)交于P，Q兩點．
（1）設PQ中點M（x₀，y₀），求證：x0 ＜

3

2

（2）橢圓C的右頂點為A，且A在以PQ為直徑的圓上，求△OPQ的面積（O為坐標原點）．

Answer 1

分析：（1）設出交點坐標，再聯(lián)立直線與橢圓的方程并且整理可得：（4a²+1）x²-4

3

a²x+2a²=0，再利用根與系數(shù)的關系表示出中點的橫坐標，進而得到答案．
（2）由題意可得：

PA

•

QA

=0，即（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=0，因為點在直線上，所以可得5x1x2-(a+2

3

)(x1+x2)+a2+3=0，再由（1）可得關于a的方程，進而結合題意求出a的值．聯(lián)立

y=2x- 3 x2 3 +y2=1

，得13x2-12

3

x+6=0，由弦長公式得|PQ|=

(1+4)[( 12 3 13 )2 -4× 6 13 ]

=

10 6

13

，由點到直線距離公式，得坐標原點O到直線y=2x-

3

的距離d=

|- 3 |

5

=

15

5

，由此能求出△OPQ的面積．

解答：（1）證明：設直線與橢圓交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）兩點，由題意可得：右頂點A（a，0），
將y=2x-

3

代入x²+a²y²-a²=0中整理得（4a²+1）x²-4

3

a²x+2a²=0，
所以根據(jù)根與系數(shù)

x1+x2=  4 3 a2 4a2+1 ① x1x2=  2a2 4a2+1 ②

，
∵M（x₀，y₀）為PQ中點，
∴x₀=

x1+x2

2

=

2 3 a2

4a2+1

=

3

2

-

3

2(4a2+1)

，
所以x₀＜

3

2

（2）解：因為以PQ為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，
所以

PA

•

QA

=0，即（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=0，
 又因為y₁=2x₁-

3

，y₂=2x₂-

3

所以（x₁-a）（x₂-a）+（2x₁-

3

）（2x₂-

3

）=0，
整理可得：5x1x2-(a+2

3

)(x1+x2)+a2+3=0，…③
 將①②代入③得：4a⁴-4

3

a³-a²+3=0
∴（a-

3

）（4a²-a-

3

）=0，
∵a＞1，則4a²-a-

3

＞0，
所以a=

3

，所以橢圓方程為

x2

3

+y²=1．
聯(lián)立

y=2x- 3 x2 3 +y2=1

，
消去y，并整理得13x2-12

3

x+6=0，
∴x1+x2=

12 3

13

，x1x2=

6

13

，k=2，
∴|PQ|=

(1+4)[( 12 3 13 )2 -4× 6 13 ]

=

10 6

13

，
坐標原點O到直線y=2x-

3

的距離d=

|- 3 |

5

=

15

5

，
∴△OPQ的面積S=

1

2

×

10 6

13

×

15

5

=

3 10

13

．

點評：本題主要考查橢圓標準方程與幾何性質，以及直線與橢圓的位置關系，并且考查學生運算能力與分析問題解決問題的能力．