Question

9．設橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一個頂點與拋物線x²=4$\sqrt{2}$y的焦點重合，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點，離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，過橢圓右焦點F₂的直線l與橢圓C交于M，N兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程．
（Ⅱ）是否存在直線l，使得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-1？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
（Ⅲ）若AB是橢圓C經(jīng)過原點O的弦，MN∥AB．是否存在λ，使|AB|²=λ$\sqrt{|{MN}|}$？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過拋物線x²=4$\sqrt{2}$y的焦點可得b=$\sqrt{2}$，利用e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$可得a²=3，進而可得結論；
（Ⅱ）通過題意可設直線l的方程為：x=my+1，代入橢圓C的方程利用韋達定理及$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-1，計算即可；
（Ⅲ）通過設直線l的方程為：x=my+1并代入橢圓C的方程，利用韋達定理及兩點間距離公式可得|MN|=$\frac{4\sqrt{3}（1+{m}^{2}）}{3+2{m}^{2}}$，通過設直線AB的方程為：x=my并代入橢圓C的方程，同理可得|AB|²=$\frac{24（1+{m}^{2}）}{3+2{m}^{2}}$，計算即得結論．

解答 解：（Ⅰ）由已知得b=$\sqrt{2}$，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴a²=3，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）結論：存在直線l：y=±$\sqrt{2}$（x-1），使得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-1．
理由如下：
若直線l的斜率為0，則$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-3（舍去）；
若直線斜率不為0，設直線l的方程為：x=my+1，
代入橢圓C的方程，消去y整理得：
（3+2m²）y²+4my-4=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則有：y₁+y₂=-$\frac{4m}{3+2{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{4}{3+2{m}^{2}}$，
又∵x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂
=（my₁+1）（my₂+1）+y₁y₂
=（1+m²）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1
=（1+m²）（-$\frac{4}{3+2{m}^{2}}$）+m（-$\frac{4m}{3+2{m}^{2}}$）+1
=-1，
解得m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直線l方程為：y=±$\sqrt{2}$（x-1）；
（Ⅲ）結論：存在λ=$\sqrt{12}$，使|AB|²=λ$\sqrt{|{MN}|}$．
理由如下：
設直線l的方程為：x=my+1，
代入橢圓C的方程，消去y整理得：
（3+2m²）y²+4my-4=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則有：y₁+y₂=-$\frac{4m}{3+2{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{4}{3+2{m}^{2}}$，
∴|MN|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{{y}_{1}-{y}_{2}）}^{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{4m}{3+2{m}^{2}}）^{2}+4•\frac{4}{3+2{m}^{2}}}$
=$\frac{4\sqrt{3}（1+{m}^{2}）}{3+2{m}^{2}}$，
設直線AB的方程為：x=my，
代入橢圓C的方程，得：y²=$\frac{6}{3+2{m}^{2}}$，
設A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
則|AB|²=（$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₃-y₄|）²
=（1+m²）4y²=$\frac{24（1+{m}^{2}）}{3+2{m}^{2}}$，
∵$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$=2$\sqrt{3}$=$\sqrt{12}$，
∴λ=$\sqrt{12}$，
∴存在λ=$\sqrt{12}$，使|AB|²=λ$\sqrt{|{MN}|}$．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查運算求解能力，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．