【題目】已知直線l的方程為y=x+2，點P是拋物線y2=4x上到直線l距離最小的點，點A是拋物線上異于點P的點，直線AP與直線l交于點Q，過點Q與x軸平行的直線與拋物線y2=4x交于點B．

（Ⅰ）求點P的坐標；
（Ⅱ）證明直線AB恒過定點，并求這個定點的坐標．

【答案】解：（Ⅰ）設點P的坐標為（x0，y0），則 ，

所以，點P到直線l的距離 ．

當且僅當y0=2時等號成立，此時P點坐標為（1，2）．

（Ⅱ）設點A的坐標為 ，顯然y1≠2．

當y1=﹣2時，A點坐標為（1，﹣2），直線AP的方程為x=1；可得B（ ，3），直線AB：y=4x﹣6；

當y1≠﹣2時，直線AP的方程為 ，

化簡得4x﹣（y1+2）y+2y1=0；

綜上，直線AP的方程為4x﹣（y1+2）y+2y1=0．

與直線l的方程y=x+2聯(lián)立，可得點Q的縱坐標為 ．

因為，BQ∥x軸，所以B點的縱坐標為 ．

因此，B點的坐標為 ．

當 ，即 時，直線AB的斜率 ．

所以直線AB的方程為 ，

整理得 ．

當x=2，y=2時，上式對任意y1恒成立，

此時，直線AB恒過定點（2，2），也在y=4x﹣6上，

當 時，直線AB的方程為x=2，仍過定點（2，2），

故符合題意的直線AB恒過定點（2，2）


【解析】（Ⅰ）利用點到直線的距離公式，求出最小值，然后求點P的坐標；（Ⅱ）設點A的坐標為 ，顯然y1≠2．通過當y1=﹣2時，求出直線AP的方程為x=1；當y1≠﹣2時，求出直線AP的方程，然后求出Q的坐標，求出B點的坐標，解出直線AB的斜率，推出AB的方程，判斷直線AB恒過定點推出結果．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，△PAD為正三角形，四邊形ABCD為直角梯形，CD∥AB，BC⊥AB，平面PAD⊥平面ABCD，點E、F分別為AD、CP的中點，AD=AB=2CD=2．
（Ⅰ）證明：直線EF∥平面PAB；
（Ⅱ）求直線EF與平面PBC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】共享單車進駐城市，綠色出行引領時尚，某市有統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，2016年該市共享單車用戶年齡等級分布如圖1所示，一周內市民使用單車的頻率分布扇形圖如圖2所示，若將共享單車用戶按照年齡分為“年輕人”（20歲～39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或者40歲及以上）兩類，將一周內使用的次數(shù)為6次或6次以上的稱為“經(jīng)常使用單車用戶”，使用次數(shù)為5次或不足5次的稱為“不常使用單車用戶”，已知在“經(jīng)常使用單車用戶”中有 是“年輕人”．
（Ⅰ）現(xiàn)對該市市民進行“經(jīng)常使用共享單車與年齡關系”的調查，采用隨機抽樣的方法，抽取一個容量為200的樣本，請你根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，補全下列2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗，判斷能有多大把握可以認為經(jīng)常使用共享單車與年齡有關？
使用共享單車情況與年齡列聯(lián)表

年輕人

非年輕人

合計

經(jīng)常使用共享單車用戶

120

不常使用共享單車用戶

80

合計

160

40

200

（Ⅱ）將頻率視為概率，若從該市市民中隨機任取3人，設其中經(jīng)常使用共享單車的“非年輕人”人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列與期望．
（參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）

0.15

0.10

0.050

0.025

0.010

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

其中，K2= ，n=a+b+c+d）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】以直角坐標系原點O為極點，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線l的參數(shù)方程為 ，曲線C的極坐標方程為
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線A與曲線C相交于A，B兩點，已知定點P（ ，0），當α= 時，求|PA|+|PB|的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓M： （a＞b＞0）的一個焦點為F（1，0），離心率為 ，過點F的動直線交M于A，B兩點，若x軸上的點P（t，0）使得∠APO=∠BPO總成立（O為坐標原點），則t=（ ）
A.2
B.
C.
D.﹣2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設a，b是不相等的兩個正數(shù)，且blna﹣alnb=a﹣b，給出下列結論：①a+b﹣ab＞1；②a+b＞2；③ + ＞2．其中所有正確結論的序號是（ ）
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且 = ．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）點D滿足 =2 ，且線段AD=3，求2a+c的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓 的焦點和上頂點分別為F1、F2、B，定義：△F1BF2為橢圓C的“特征三角形”，如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，那么稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比，已知點 是橢圓 的一個焦點，且C1上任意一點到它的兩焦點的距離之和為4．
（1）若橢圓C2與橢圓C1相似，且C2與C1的相似比為2：1，求橢圓C2的方程；
（2）已知點P（m，n）（mn≠0）是橢圓C1上的任意一點，若點Q是直線y=nx與拋物線 異于原點的交點，證明：點Q一定在雙曲線4x2﹣4y2=1上；
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓為Cb ， 是否存在正方形ABCD，（設其面積為S），使得A、C在直線l上，B、D在曲線Cb上？若存在，求出函數(shù)S=f（b）的解析式及定義域；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知過點A（﹣2，0）的直線與x=2相交于點C，過點B（2，0）的直線與x=﹣2相交于點D，若直線CD與圓x2+y2=4相切，則直線AC與BD的交點M的軌跡方程為 ．

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