Question

（1）求證：函數(shù)f（x）=2^x+2^-x在[0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）=2^x+2^-x（x∈R）的值域；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=4^x+4^-x+a（2^x+2^-x）（a∈R），求h（x）的最小值φ（a）．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)可證明單調(diào)性；
（2）先判斷函數(shù)的奇偶性，由（1）可知函數(shù)在[1，+∞）上的單調(diào)性，由單調(diào)性及奇偶性可得值域；
（3）h（x）=（2^x+2^-x）²+a（2^x+2^-x）-2，令2^x+2^-x=t，則h（x）=m（t）=t²+at-2，t∈[2，+∞），按照對(duì)稱軸與區(qū)間的位置分兩種情況討論可得；

解答： （1）證明：∵f（x）=2^x+2^-x，
∴f′（x）=2^xln2-2^-xln2=（2^x-2^-x）ln2=

22x-1

2x

•ln2，
∵x∈[0，+∞），∴f′（x）≥0，
∴f（x）=2^x+2^-x在[0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）解：∵f（-x）=2^x+2^-x=f（x），∴f（x）為R上的偶函數(shù)，
由（1）知f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，則x≥0時(shí)f（x）≥2⁰+2⁰=2，
由偶函數(shù)性質(zhì)知在（-∞，0]上f（x）≥2，
∴f（x）的值域?yàn)閇2，+∞）；
（3）解：∵h(yuǎn)（x）=（2^x+2^-x）²+a（2^x+2^-x）-2，令2^x+2^-x=t，
則h（x）=m（t）=t²+at-2，t∈[2，+∞），
∵函數(shù)m（t）的對(duì)稱軸方程為t=-

a

2

，
∴①當(dāng)-

a

2

≥2，即a≤-4時(shí)，φ(a)=m(-

a

2

)=-

a2

4

-2；
②當(dāng)-

a

2

＜2，即a＞-4時(shí)，φ（a）=m（2）=2a+2；
綜上所述，φ(a)=

- a2 4 -2， a≤-4 2a+2， a＞-4

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的綜合，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用，考查學(xué)生解決問題的能力．