Question

11．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+4\sqrt{2}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程$ρ=2cos（θ+\frac{π}{4}）$．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)M為曲線C上任意一點(diǎn)，求x+y的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把曲線C的參數(shù)方程和直線l的極坐標(biāo)方程分別化為直角坐標(biāo)方程，
（Ⅱ）設(shè)$M（\frac{{\sqrt{2}}}{2}+cosθ，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+sinθ）$，根據(jù)三角形函數(shù)的取值范圍得到x+y的取值范圍．

解答 （Ⅰ）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+4\sqrt{2}\end{array}\right.$（t是參數(shù)），消去t，
∴直線l的普通方程為$x-y+4\sqrt{2}=0$，
∵曲線C的極坐標(biāo)方程$ρ=2cos（θ+\frac{π}{4}）$．
∴曲線C的直角坐標(biāo)系下的方程為${（x-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}+{（y+\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}=1$，
（Ⅱ）設(shè)$M（\frac{{\sqrt{2}}}{2}+cosθ，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+sinθ）$，
則x+y=cosθ+sinθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，以及三角函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．