Question

2．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+2
（1）若方程f（x）=0有兩不相等的正根，求a的取值范圍；
（2）求f（x）在x∈[-5，5]的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用根與系數(shù)的關(guān)系列出不等式組解出；
（2）討論f（x）在[-5，5]上的單調(diào)性求出最小值．

解答 解：（1）設(shè)方程x²+2ax+2=0的兩根為x₁，x₂，
則$\left\{\begin{array}{l}△=4{a^2}-8＞0\\{x_1}+{x_2}=-2a＞0\\{x_1}{x_2}=2＞0\end{array}\right.$
解得：$a＜-\sqrt{2}$．
（2）f（x）=（x+a）²+2-a²
f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=-a，
當(dāng)-a＜-5，即a＞5時(shí)，f（x）在[-5，5]上是增函數(shù)，
∴f_min（x）=f（-5）=27-10a．
當(dāng)-5≤-a≤5，即-5≤a≤5時(shí)，$f{（x）_{min}}=f（-a）=2-{a^2}$．
當(dāng)-a＞5，即a＜-5時(shí)，f（x）在[-5，5]上是減函數(shù)，
∴f_min（x）=f（5）=27+10a．
綜上所述：當(dāng)a＞5時(shí)，f_min（x）=27-10a；
當(dāng)-5≤a≤5時(shí)，f_min（x）=2-a²；
當(dāng)a＜-5時(shí)，f_min（x）=27+10a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．