已知f是直角坐標(biāo)平面xOy到自身的一個(gè)映射,點(diǎn)P在映射f下的象為點(diǎn)Q,記作Q=f(P).
設(shè)P1(x1,y1),P2=f(P1),P3=f(P2),…,Pn=f(Pn-1),….如果存在一個(gè)圓,使所有的點(diǎn)Pn(xn,yn)(n∈N*)都在這個(gè)圓內(nèi)或圓上,那么稱(chēng)這個(gè)圓為點(diǎn)Pn(xn,yn)的一個(gè)收斂圓.特別地,當(dāng)P1=f(P1)時(shí),則稱(chēng)點(diǎn)P1為映射f下的不動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ) 若點(diǎn)P(x,y)在映射f下的象為點(diǎn)Q(2x,1-y).
①求映射f下不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo);
②若P1的坐標(biāo)為(1,2),判斷點(diǎn)Pn(xn,yn)(n∈N*)是否存在一個(gè)半徑為3的收斂圓,并說(shuō)明理由.
(Ⅱ) 若點(diǎn)P(x,y)在映射f下的象為點(diǎn)Q(
x+y
2
+1,
x-y
2
)
,P1(2,3).求證:點(diǎn)Pn(xn,yn)(n∈N*)存在一個(gè)半徑為
5
的收斂圓.
分析:(Ⅰ)①設(shè)不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為P0(x0,y0),依據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系及不動(dòng)點(diǎn)的定義,列解方程組 
x0=2x0
y0=1-y0
,并解即可.
②由P1(1,2),得P2(2,-1),P3(4,2),P4(8,-1)所以|P1P4|=
58
>6,則點(diǎn)P1,P4不可能在同 一個(gè)半徑為3的圓內(nèi)
(Ⅱ) 由Pn+1=f(Pn),得,
xn+1=
xn+yn
2
+1
yn+1=
xn-yn
2
構(gòu)造兩個(gè)等比數(shù)列 寫(xiě)出它們的通項(xiàng)公式,設(shè)A(3,1),,計(jì)算Pn到A的距離,可得此距離小于
5
,故所有的點(diǎn)Pn(n∈N*)都在以 P為圓心,
5
為半徑的圓內(nèi).
解答:解:(Ⅰ)①解:設(shè)不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為P0(x0,y0),
 由題意,得
x0=2x0
y0=1-y0
,解得x0=0, y0=
1
2

所以映射f下不動(dòng)點(diǎn)為P0(0, 
1
2
)

②結(jié)論:點(diǎn)Pn(xn,yn)不存在一個(gè)半徑為3的收斂圓.
  證明:由P1(1,2),得P2(2,-1),P3(4,2),P4(8,-1),
   所以|P1P4|=
58
>6,
   則點(diǎn)P1,P4不可能在同 一個(gè)半徑為3的圓內(nèi),
   所以點(diǎn)Pn(xn,yn)(n∈N*) 不存在一個(gè)半徑為3的收斂圓
 (Ⅱ)證明:由P1(2,3),得P2(
7
2
,-
1
2
)

由Pn+1=f(Pn),得
xn+1=
xn+yn
2
+1
yn+1=
xn-yn
2

所以xn+1+yn+1=xn+1,xn+1-yn+1=yn+1,
   由Pn+2=f(Pn+1),得
xn+2=
xn+1+yn+1
2
+1
yn+2=
xn+1-yn+1
2
,
  所以xn+2=
1
2
xn+
3
2
 yn+2=
1
2
yn+
1
2

  即xn+2-3=
1
2
(xn-3), yn+2-1=
1
2
(yn-1)
,
  由x1-3≠0,x2-3≠0,得xn-3≠0,
同理yn-1≠0,
  所以
xn+2-3
xn-3
=
1
2
, 
yn+2-1
yn-1
=
1
2
,
  所以數(shù)列{x2n-1-3},{x2n-3}(n∈N*)都是公比為
1
2
的等比數(shù)列,首項(xiàng)分別為   x1-3=-1, x2-3=
1
2

  所以x2n-1-3=-(
1
2
)n-1, x2n-3=
1
2
×(
1
2
)n-1

 同理可得y2n-1-1=2×(
1
2
)n-1, y2n-1=-
3
2
×(
1
2
)n-1

 所以對(duì)任意n∈N*,|xn-3|≤1,|yn-1|≤2,
 設(shè)A(3,1),則|APn|=
(xn-3)2+(yn-1)2
1+4

  所以|APn|≤
5
,
 故所有的點(diǎn)Pn(n∈N*)都在以A(3,1)為圓心,
5
為半徑的圓內(nèi)或圓上,
  即點(diǎn)Pn(xn,yn)存在一個(gè)半徑為
5
的收斂圓
點(diǎn)評(píng):本題考查映射的定義,構(gòu)造等比數(shù)列并求通項(xiàng)公式,兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用.考查分析解決問(wèn)題,閱讀處理信息等能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f是直角坐標(biāo)平面xOy到自身的一個(gè)映射,點(diǎn)P在映射f下的象為點(diǎn)Q,記作Q=f(P).設(shè)P1(x1,y1),P2=f(P1),P3=f(P2),…,Pn=f(Pn-1),….如果存在一個(gè)圓,使所有的點(diǎn)Pn(xn,yn)(n∈N*)都在這個(gè)圓內(nèi)或圓上,那么稱(chēng)這個(gè)圓為點(diǎn)Pn(xn,yn)的一個(gè)收斂圓.特別地,當(dāng)P1=f(P1)時(shí),則稱(chēng)點(diǎn)P1為映射f下的不動(dòng)點(diǎn).若點(diǎn)P(x,y)在映射f下的象為點(diǎn)Q(-x+1,
12
y)

(Ⅰ)求映射f下不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)若P1的坐標(biāo)為(2,2),求證:點(diǎn)Pn(xn,yn)(n∈N*)存在一個(gè)半徑為2的收斂圓.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(09年西城區(qū)抽樣文)(14分)

   已知f是直角坐標(biāo)平面xOy到自身的一個(gè)映射,點(diǎn)在映射f下的象為點(diǎn),記作.

設(shè),,. 如果存在一個(gè)圓,使所有的點(diǎn)都在這個(gè)圓內(nèi)或圓上,那么稱(chēng)這個(gè)圓為點(diǎn)的一個(gè)收斂圓. 特別地,當(dāng)時(shí),則稱(chēng)點(diǎn)為映射f下的不動(dòng)點(diǎn).

若點(diǎn)在映射f下的象為點(diǎn).     

(Ⅰ) 求映射f下不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo);

     (Ⅱ) 若的坐標(biāo)為(2,2),求證:點(diǎn)存在一個(gè)半徑為2的收斂圓.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(09年西城區(qū)抽樣理)(14分)

   已知f是直角坐標(biāo)平面xOy到自身的一個(gè)映射,點(diǎn)在映射f下的象為點(diǎn),記作.

設(shè),,. 如果存在一個(gè)圓,使所有的點(diǎn)都在這個(gè)圓內(nèi)或圓上,那么稱(chēng)這個(gè)圓為點(diǎn)的一個(gè)收斂圓. 特別地,當(dāng)時(shí),則稱(chēng)點(diǎn)為映射f下的不動(dòng)點(diǎn).

    (Ⅰ) 若點(diǎn)在映射f下的象為點(diǎn).

  1 求映射f下不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo);

  2 若的坐標(biāo)為(1,2),判斷點(diǎn)是否存在一個(gè)半徑為3的收斂圓,并說(shuō)明理由.

(Ⅱ) 若點(diǎn)在映射f下的象為點(diǎn),(2,3). 求證:點(diǎn)存在一個(gè)半徑為的收斂圓.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:北京模擬題 題型:解答題

已知f是直角坐標(biāo)平面xOy到自身的一個(gè)映射,點(diǎn)P在映射f下的象為點(diǎn)Q,記作Q=f(P),設(shè)P1(x1,y1),P2=f(P1),P3=f(P2),…,Pn=f(Pn-1),…。如果存在一個(gè)圓,使所有的點(diǎn)Pn(xn,yn)(n∈N*)都在這個(gè)圓內(nèi)或圓上,那么稱(chēng)這個(gè)圓為點(diǎn)Pn(xn,yn)的一個(gè)收斂圓。特別地,當(dāng)P1=f(P1)時(shí),則稱(chēng)點(diǎn)P1為映射f下的不動(dòng)點(diǎn),
(Ⅰ)若點(diǎn)P(x,y)在映射f下的象為點(diǎn)Q(2x,1-y),
①求映射f下不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo);
②若P1的坐標(biāo)為(1,2),判斷點(diǎn)Pn(xn,yn)(n∈N*)是否存在一個(gè)半徑為3的收斂圓,并說(shuō)明理由;
(Ⅱ)若點(diǎn)P(x,y)在映射f下的象為點(diǎn),P1(2,3),求證:點(diǎn)Pn(xn,yn)(n∈N*)存在一個(gè)半徑為的收斂圓。

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