【題目】如圖,在直三棱柱中,已知,,,.是線(xiàn)段的中點(diǎn).
(1)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值;
(2)求二面角的大小的余弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】
試題(1)利用空間向量研究線(xiàn)面角,首先建立恰當(dāng)空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),利用方程組求面的法向量,最后利用向量數(shù)量積求夾角余弦值的絕對(duì)值,也是線(xiàn)面角的正弦值(2)利用空間向量研究二面角,首先建立恰當(dāng)空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),利用方程組求兩個(gè)平面的法向量,最后利用向量數(shù)量積求夾角余弦值,根據(jù)圖形確定二面角的大小的余弦值與夾角余弦值之間關(guān)系.
試題解析:因?yàn)樵谥比庵?/span>中,,所以分別以、、所在的直線(xiàn)為軸、軸、軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
因?yàn)?/span>是的中點(diǎn),所以,
(1)因?yàn)?/span>,設(shè)平面的法向量,
則,即,取,
所以平面的法向量,而,
所以,
所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為;
(2),,設(shè)平面的法向量,
則,即,取,平面的法向量,
所以,
二面角的大小的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).
(1)求的取值范圍;
(2)記兩個(gè)極值點(diǎn)為,且,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)將甲、乙兩個(gè)學(xué)生在高二的6次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)(百分制)制成如圖所示的莖葉圖,進(jìn)入高三后,由于改進(jìn)了學(xué)習(xí)方法,甲、乙這兩個(gè)學(xué)生的考試成績(jī)預(yù)計(jì)同時(shí)有了大的提升:若甲(乙)的高二任意一次考試成績(jī)?yōu)?/span>,則甲(乙)的高三對(duì)應(yīng)的考試成績(jī)預(yù)計(jì)為.
(1)試預(yù)測(cè):高三6次測(cè)試后,甲、乙兩個(gè)學(xué)生的平均成績(jī)分別為多少?誰(shuí)的成績(jī)更穩(wěn)定?
(2)若已知甲、乙兩個(gè)學(xué)生的高二6次考試成績(jī)分別由低到高進(jìn)步的,定義為高三的任意一次考試后甲、乙兩個(gè)學(xué)生的當(dāng)次成績(jī)之差的絕對(duì)值,求的平均值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中.
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:對(duì)于任意,存在實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí),恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之粟五斗,羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之,問(wèn)各出幾何?此問(wèn)題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說(shuō):“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說(shuō):“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還,他門(mén)各應(yīng)償還多少?該問(wèn)題中,1斗為10升,則羊主人應(yīng)償還多少升粟?( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程;
(2)證明:在區(qū)間上有且僅有個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽,約定先連勝兩局者直接贏得比賽,若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝,則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)求甲在4局以?xún)?nèi)(含4局)贏得比賽的概率;
(2)用X表示比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù),求隨機(jī)變量X的分布列和均值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某個(gè)機(jī)械零件是由兩個(gè)有公共底面的圓錐組成的,且這兩個(gè)圓錐有公共點(diǎn)的母線(xiàn)互相垂直,把這個(gè)機(jī)械零件打磨成球形,該球的半徑最大為1,設(shè)這兩個(gè)圓錐的高分別為,則的最小值為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.
(1)求通項(xiàng)公式an;
(2)求數(shù)列{|an-n-2|}的前n項(xiàng)和.
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