Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}，滿足a_k+1=a_k+b_k，k=1，2，3，…．若存在正整數(shù)N，使得a_N=a₁成立，則稱數(shù)列{a_n}為N階“還原”數(shù)列．下列條件：
①|b_k|=1；
②|b_k|=k；
③|b_k|=2^k，
可能使數(shù)列{a_n}為8階“還原”數(shù)列的是（　　）

• A、①
• B、①②
• C、②
• D、②③

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a_k+1=a_k+b_k，得a_k+1-a_k=b_k，然后對三個b_k逐一驗證可得只有|b_k|=k時有可能得到a₈=a₁成立，則答案可得．

解答： 解：由a_k+1=a_k+b_k，得
a_k+1-a_k=b_k，則
a₂-a₁=b₁，
a₃-a₂=b₂，
a₄-a₃=b₃，
a₅-a₄=b₄，
a₆-a₅=b₅，
a₇-a₆=b₆，
a₈-a₇=b₇．
累加得：a₈-a₁=b₁+b₂+…+b₇．
若|b_k|=1，即b_k=±1，
則b₁+b₂+…+b₇≠0，
∴a₈≠a₁；
若|b_k|=k，即b_k=±k，
則b₁+b₂+…+b₇=1-2+3+4-5+6-7=0，
∴a₈=a₁成立，即|b_k|=k時可能使數(shù)列{a_n}為8階“還原”數(shù)列；
若|b_k|=2^k，即bk=±2k．
∵2¹+2²+…+2⁶＜2⁷，
∴b₁+b₂+…+b₇≠0，
即|b_k|=2^k時，不可能使數(shù)列{a_n}為8階“還原”數(shù)列．
故選：C．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了累加法，關鍵是對題意的理解，是中檔題．