Question

12．若函數f（x）=|a^x+x²-xlna-m|-2，（a＞0且a≠1）有兩個零點，則m的取值范圍是（-1，3）．

Answer 1

分析 令g（x）=a^x+x²-x•lna，先討論a＞1，0＜a＜1求出單調區(qū)間，進而判斷函數g（x）的極小值，
再由y=|g（x）-m|-2有兩個零點，所以方程g（x）=m±2有2個根，而m+2＞m-2，所以m+2＞1且m-2＜1，即可得到m的取值范圍

解答 解：令g（x）=a^x+x²-x•lna，
g′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
①當a＞1，x∈（0，+∞）時，lna＞0，a^x-1＞0，則g′（x）＞0，
即函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
因為x∈（-∞，0）時，lna＞0，a^x-1＜0，
所以g′（x）＜0，
即函數g（x）在（-∞，0）上單調遞減；
②因為當0＜a＜1時，x＞0，lna＜0，a^x-1＜0，
所以g′（x）＞0，
即函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
因為當x∈（-∞，0）時，lna＜0，a^x-1＞0，
所以g′（x）＜0，
即函數g（x）在（-∞，0）上單調遞減．
故：當a＞0且a≠1時，g（x）在x＜0時遞減；g（x）在x＞0時遞增，
則x=0為g（x）的極小值點，且為最小值點，且最小值g（0）=1．
又函數f（x）=|g（x）-m|-2有兩個零點，所以方程g（x）=m±2有二個根，
而m+2＞m-2，所以m+2＞1且m-2＜1，
解得m∈（-1，3）
故答案為：（-1，3）

點評 本題考查函數的零點，用導數判斷函數單調性，利用導數研究函數極值，體現了轉化的思想，以及學生靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力，屬中檔題