Question

某班聯(lián)歡晚會(huì)玩飛鏢投擲游戲，規(guī)則如下：每人連續(xù)投擲5支飛鏢，累積3支飛鏢擲中目標(biāo)即可獲獎(jiǎng)；否則不獲獎(jiǎng)．同時(shí)要求在以下兩種情況下中止投擲：①累積3支飛鏢擲中目標(biāo)；②累積3支飛鏢沒(méi)有擲中目標(biāo)．已知小明同學(xué)每支飛鏢擲中目標(biāo)的概率是常數(shù)p（p＞0.5），且擲完3支飛鏢就中止投擲的概率為

1

3

．
（1）求p的值；
（2）記小明結(jié)束游戲時(shí)，投擲的飛鏢支數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用擲完3支飛鏢就中止投擲的概率為

1

3

，建立方程，即可求p的值；
（2）確定X可能的取值，求出相應(yīng)的概率，可得X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

解答： 解：（1）由題意，p³+（1-p）³=

1

3

，
∵p＞0.5，
∴p=

2

3

；
（2）X的所有可能取值為3，4，5，則
P（X=3）=

1

3

，P（X=4）=[

C

2 3

×(

2

3

)2×

1

3

]×

2

3

+[

C

2 3

×(

1

3

)2×

2

3

]×

1

3

=

10

27

，P（X=5）=

C

2 4

×(

2

3

)2×(

1

3

)2=

8

27

，
X的分布列

X	3	4	5
P	1 3	10 27	8 27

數(shù)學(xué)期望EX=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．