Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸為AB，點(diǎn)（0，1）恰好是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓的離心率e=

3

2

，
過(guò)點(diǎn)B的直線l與x軸垂直．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，
延長(zhǎng)HP到點(diǎn)Q使得HP=PQ，連結(jié)AQ延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)M，N為MB的中點(diǎn)．
①求點(diǎn)Q的軌跡；
②判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由點(diǎn)（0，1）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓的離心率e=

3

2

，k可得

b=1 3 2 = 1- b2 a2

，解出即可．
（2））①設(shè)P（x₀，y₀），Q（x，y）．由HP=PQ，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得

x0=x y0= 1 2 y

，代入橢圓方程即可得出；
②又A（-2，0），可得直線AQ的方程為y=

2y0

x0+2

(x+2)．令x=2，得M(2，

8y0

x0+2

)．又B（2，0），N為MB的中點(diǎn)，可得N(2，

4y0

x0+2

)．計(jì)算

OQ

•

NQ

即可得出．

解答： 解：（1）由點(diǎn)（0，1）是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓的離心率e=

3

2

，
∴

b=1 3 2 = 1- b2 a2

，解得b=1，a²=4．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．
（2）①設(shè)P（x₀，y₀），Q（x，y）．
∵HP=PQ，∴

x=x0 y=2y0

．
∴

x0=x y0= 1 2 y

∵

x02

4

+y02=1，
∴

x2

4

+

y2

4

=1，即x²+y²=4．
∴Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上．即Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上．
②又A（-2，0），
∴直線AQ的方程為y=

2y0

x0+2

(x+2)．
令x=2，得M(2，

8y0

x0+2

)．
又B（2，0），N為MB的中點(diǎn)，
∴N(2，

4y0

x0+2

)．
∴

OQ

=(x0，2y0)，

NQ

=(x0-2，

2x0y0

x0+2

)．
∴

OQ

•

NQ

=x₀（x₀-2）+

4x0 y 2 0

x0+2

=x0(x0-2)+

x0(4- x 2 0 )

x0+2

=x₀（x₀-2）+x₀（2-x₀）=0．
∴

OQ

⊥

NQ

．
∴直線QN與圓O相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．