Question

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓C：x²+2y²=4上兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）．
（Ⅰ）當(dāng)A，B關(guān)于點(diǎn)M（1，0）對稱時(shí)，求證：x₁=x₂=1；
（Ⅱ）當(dāng)直線AB經(jīng)過點(diǎn)（0，3）時(shí)，求證：△MAB不可能為等邊三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用A，B在橢圓上，A，B關(guān)于點(diǎn)M（1，0）對稱，得x₁=1，即可得證；
（Ⅱ）求出MA，MB，證明|MA|≠|(zhì)MB|，即可證明：△MAB不可能為等邊三角形．

解答： 證明：（Ⅰ）因?yàn)锳，B在橢圓上，
所以

x12+2y12=4，① x22+2y22=4．②

因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M（1，0）對稱，
所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=0，
將x₂=2-x₁，y₂=-y₁代入②得(2-x1)2+2y12=4③，
由①和③消y₁解得x₁=1，
所以 x₁=x₂=1．
（Ⅱ）當(dāng)直線AB不存在斜率時(shí)，A(0，

2

)，B(0，-

2

)，
可得|AB|=2

2

，|MA|=

3

，△ABM不是等邊三角形．
當(dāng)直線AB存在斜率時(shí)，顯然斜率不為0．
設(shè)直線AB：y=kx+3，AB中點(diǎn)為N（x₀，y₀），
聯(lián)立

x2+2y2=4 y=kx+3

消去y得（1+2k²）x²+12kx+14=0，
△=144k²-4（1+2k²）•14=32k²-56，
由△＞0，得到k2＞

7

4

①
又x1+x2=

-12k

1+2k2

，x1•x2=

14

1+2k2

所以x0=

-6k

1+2k2

，y0=kx0+3=

3

1+2k2

，
所以 N(

-6k

1+2k2

，

3

1+2k2

)
假設(shè)△ABM為等邊三角形，則有MN⊥AB，
又因?yàn)镸（1，0），
所以k_MN×k=-1，即

3 1+2k2

-6k 1+2k2 -1

×k=-1，
化簡 2k²+3k+1=0，解得k=-1或k=-

1

2

這與①式矛盾，所以假設(shè)不成立．
因此對于任意k不能使得MN⊥AB，故△ABM不能為等邊三角形．

點(diǎn)評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查兩點(diǎn)間距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．