Question

設函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），對任意x∈R都有0＜f′（x）＜2成立，則（　�。�

• A、f（1）＜f（3）＜f（2）+2
• B、f（2）+2＜f（3）＜f（1）
• C、f（1）＜f（2）+2＜f（3）
• D、f（2）+2＜f（1）＜f（3）

Answer 1

考點：導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：對任意x∈R都有0＜f′（x）成立，可知：函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，可得f（3）＞f（1）．令g（x）=f（x）-2x，g′（x）=f′（x）-2，由于對任意x∈R都有f′（x）＜2成立，可得g′（x）＜0，因此函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．即可得出f（3）-6＜f（2）-4．

解答： 解：∵對任意x∈R都有0＜f′（x）成立，∴函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，∴f（3）＞f（1）．
令g（x）=f（x）-2x，則g′（x）=f′（x）-2
∵對任意x∈R都有f′（x）＜2成立，∴g′（x）＜0，∴函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴g（3）＜g（2）即f（3）-6＜f（2）-4，化為f（3）＜f（2）+2．
綜上可得：f（1）＜f（3）＜f（2）+2．
故選：A．

點評：本題考查了通過構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的方法，考查了推理能力，屬于難題．